– Trong khai triển
có
số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau :
– Số hạng tổng quát dạng :
và số hạng thứ
thì
.- Trong khai triển
thì dấu đan nhau nghĩa là
, rồi
, rồi
,…..- Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.
Đang xem: Cách tính tổng hệ số trong khai triển nhị thức niu tơn
– Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như :
.
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
*
*
3. Tam giác Pascal
Các hệ số của khai triển:
có thể xếp thành một tam giác gọi
là tam giác PASCAL.
|
n = 0 :1 n = 1 : 11 n = 2 : 121 n = 3 :1331 n = 4 :14641 n = 5 :15101051 n = 6 :1615201561 n = 7 :172135352171 |
Hằng đẳng thức PASCAL |
B. Bài tập
Dạng 1. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton
A. Phương pháp
Bước 1:Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:
Bước 2:Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau:
Số hạng chứa
ứng với giá trị
thỏa:
.
Từ đó tìm
Vậy hệ số của số hạng chứa
là:
với giá trị
đã tìm được ở trên.
Nếu
không nguyên hoặc
n” />thì trong khai triển không chứa
, hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý:Xác định hệ số của số hạng chứa
trong khai triển
được viết dưới dạng
.
Ta làm như sau:
* Viết
;
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng
thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của
.
Chú ý:Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số
theo
và
;
* Giải bất phương trình
với ẩn số
;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1:Trong khai triển
, hệ số của số hạng thứ
bằng:
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Chọn B.
Ta có:
Do đó hệ số của số hạng thứ
bằng
.
Ví dụ 2:Trong khai triển
, hệ số của số hạng chính giữa là:
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Chọn D.
Trong khai triển
có tất cả
số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ
.
Vậy hệ số của số hạng chính giữa là
.
Ví dụ 3:Trong khai triển
{x}}
ight]}^{6}}” />, hệ số của
0
ight]” />là:
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Chọn C.
Xem thêm: Cách Tính Giá Phòng Khách Sạn Trong Excel, 【4/2021】 Dùng Hàm Vlookup, Hlookup, M【Xem 18,612】
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là
Yêu cầu bài toán xảy ra khi
.
Khi đó hệ số của
là:
.
Ví dụ 4:Tìm hệ số của
trong khai triển biểu thức sau:
A.29 B.30 C.31 D.32
Lời giải:
Chọn A.
Hệ số của
trong khai triển
là :
Hệ số của
trong khai triển
là :
Hệ số của
trong khai triển
là :
.
Vậy hệ số chứa
trong khai triển
thành đa thức là:
.
Chú ý:
* Với
ta có:
với
.
* Với
ta có:
{{{a}^{m}}}={{a}^{frac{m}{n}}}” />với
.
Ví dụ 5:Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Niutơn của
biết
.
A.495 B.313 C.1303 D.13129
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:
.
Khi đó:
.
Số hạng chứa
ứng với
thỏa:
.
Do đó hệ số của số hạng chứa
là:
.
Ví dụ 6:Xác định hệ số của
trong các khai triển sau:
A.37845 B.14131 C.324234 D.131239
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:
Số hạng chứa
ứng với cặp
thỏa:
Nên hệ số của
là:
Dạng 2. Tính tổng
A. Phương pháp
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
.
Ta chọn những giá trị
thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
*
*
*
*
*
.
Phương pháp 2:Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức [*] và ta thường gọi [*] là đẳng thức đặc trưng.
Xem thêm: tiểu luận báo chí
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái [thường có hệ số chứa
] và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Cách tính