Cách chứng minh hình chóp cụt

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Hình chóp đều, hình chóp cụt đều, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Hình chóp đều, hình chóp cụt đều: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Hình chóp có đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh, là đỉnh của hình chóp. A D B C Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân. S A M B C O D d h Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy, phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy là một hình chóp cụt đều. Hình chóp cụt đều có các mặt bên là những hình thang cân. A D D0 B C B0 C 0 O A0 h d Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng: Nửa chu vi đáy × Trung đoạn Sxq = pd Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều bằng: Nửa tổng chu vi đáy × Trung đoạn Sxq = [p + p 0] d Thể tích của hình chóp bằng: 1 3 diện tích đáy × Chiều cao. V = 1 3 Sh VÍ DỤ 1. Một hình chóp và một hình lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng nhau. Chiều cao của hình chóp gấp đôi chiều cao của hình lăng trụ. Tỉ số các thể tích của khối chóp và hình lăng trụ bằng 1 3 a] ; 2 3 b] ; c] 1; 3 2 d]. LỜI GIẢI. Gọi S và h theo thứ tự là diện tích đáy và chiều cao của hình lăng trụ. Khi đó hình chóp có diện tích đáy S và chiều cao 2h. Thể tích hình chóp: V1 = 1 3 S · 2h = 2 3 Sh. Thể tích hình lăng trụ: V2 = Sh. Tỉ số các thể tích của khối chóp và hình lăng trụ bằng 2 3. Vậy câu b] là câu trả lời đúng. VÍ DỤ 2. Tính thể tích hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng √2 và cạnh bên bằng 1. LỜI GIẢI. Cách 1. Kí hiệu như trên hình vẽ. Xét tam giác CBM vuông tại M: BM2 = BC2 − CM2 = √2 2 − √2 2 2 = 3 2 ⇒ BM = √3 √2. BH = 2 3 BM = 2 3 · √3 √2 = √2 √3. Xét tam giác ∆AHB vuông tại H: AH2 = AB2 − BH2 = 1 − √2 √3 2 = 1 3 ⇒ AH = 1 √3. SBCD = 1 2 · CD · BM = 1 2 · √2 · √3 √2 = √3 2. V = 1 3 · SBCD · AH = 1 3 · √3 2 · 1 √3 = 1 6. A B C H D M Cách 2. Xét tam giác ∆CAD CD2 = √2 2 = 2. AC2 + AD2 = 12 + 12 = 2 ⇒ CD2 = AC2 + AD2 ⇒ CAD = 90◦. Tương tự BAC = BAD = 90◦. Xét hình chóp đáy là tam giác vuông CAD, đường cao BA, thể tích hình chóp bằng: V = 1 3 · SCAD · BA = 1 6. VÍ DỤ 3. Một hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy bằng a và b. Tính chiều cao của hình chóp cụt đều, biết rằng diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy. LỜI GIẢI. Kí hiệu như hình vẽ. Diện tích xung quanh hình chóp cụt đều bằng tổng diện tích hai đáy nên [2a + 2b] d = a 2 + b 2. Do đó d = a 2 + b 2 2 [a + b]. Gọi I, I 0 theo thứ tự là trung điểm của BC, B0C 0. Ta có O0 I 0 k A0B0 k AB k OI. O0 I 0 và OI xác định mặt phẳng [O0 I 0 IO]. Trên mặt phẳng đó kẻ I 0H ⊥ OI. Đặt I 0 I = d, I 0H = OO0 = h. Ta có: HI = OI − OH = a 2 − b 2 h 2 = I 0 I 2 − HI2 = d 2 − a − b 2 [2] A D D0 B C I I 0 A0 O0 B0 O C 0 H a h b d Từ [1] và [2] suy ra: h 2 = [a 2 + b 2] 2 4[a + b] 2 − [a − b] 2 4 = [a 2 + b 2] 2 − [a 2 − b 2] 2 4[a + b] 2 = 4a 2 b 2 4[a + b] 2 = a 2 b 2 [a + b] 2.

Do đó h = ab a + b. VÍ DỤ 4. Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD. Gọi E, F theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCD, ACD. 1 Chứng minh EF k AB. 2 Gọi K là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BF, DK đồng qui. LỜI GIẢI. 1 Gọi M là trung điểm của CD. Theo tính chất đường trung tuyến ta có E BM, ME = 1 3 MB. F AM, MF = 1 3 MA. Ta có: ME MB = MF MA = 1 3 nên EF k AB [định lý Ta-lét đảo]. A G B N K C E D M F 2 AE cắt BF tại G. Ta có EF k AB nên GE GA = EF AB. Ta lại có EF AB = MF MA = 1 3. Do đó G chia trong EA theo tỉ số 1 : 3. Chứng minh tương tự, DK cắt AE tại điểm G0, cũng chia trong EA theo tỉ số 1 : 3 suy ra G ≡ G0. Vậy AE, BF, DK đồng quy. B BÀI TẬP BÀI 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 20 cm, chiều cao 10 cm. Tính độ dài cạnh bên. LỜI GIẢI. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khi đó SO = 10 cm. Ta có AC = AB√2 = 20√2 cm, OA = 1 2 · AC = 10√2. Trong tam giác vuông SOA: SA2 = SO2 + AC2 = 300 ⇒ SA = √300. S A B C O D BÀI 2. Hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng 2 dm. Tính độ dài đoạn thẳng MN nối trung điểm hai cạnh đối AB và SC. LỜI GIẢI. Gọi M, N là trung điểm AB và SC. Ta có CM = AB√3 2 = 2 √3 2 = √3 dm. Tam giác MNC vuông tại N. Ta tính được MN2 = MC2 − NC2 = 3 − 1 = 2 ⇒ MN = √2 dm.