Bài 1. AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn [O] với B và C là hai tiếp điểm. Vẽ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt đường tròn tâm O tại E và cắt OA tại D.
a] Chứng minh CO = CD
b] Chứng minh: Tứ giác OBDC là hình thoi.
c] Gọi M là trung điểm của CE, BM cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của HO.
d] Tiếp tuyến tại E với đường tròn tâm O cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng.
Bài 2. Cho một nửa đường tròn [O] đường kính AB và dây AC. H là trung điểm của AC, OH cắt nửa đường tròn [O] tại M. Từ C vẽ đường thẳng song song với BM và cắt OM tại D.
a] Chứng minh tứ giác MBCD là hình bình hành.
b] AM cắt CD tại K, chứng minh bốn điểm C, H, M, K cùng nằm trên một đường tròn.
c] Chứng minh AH.AC=AM.AK
Trả lời cho bạn:
Bài 1.
a] Ta có:
$\widehat{HDA}$ = $90^0$ - $\widehat{A_1}$
$\widehat{COA}$ = $90^0$ - $\widehat{A_2}$ hay $\widehat{COD}$ = $90^0$ - $\widehat{A_2}$
Mà $\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$ [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Nên $\widehat{HDA}$ = $\widehat{COD}$
Ta lại có $\widehat{HDA}$ = $\widehat{ODC}$ [hai góc đối đỉnh]
Nên $\widehat{COD}$ = $\widehat{ODC}$
Suy ra tam giác OCD cân tại C.
Do đó CO = CD [đpcm]
| M là trung điểm của CE |
b] Ta có
OB = OC [1] [bán kính đường tròn]
DB = DC [2] [D nằm trên đường trung trực của BC]
CO = CD [3] [cmt]
Từ [1] [2] [3] suy ra OB = OC = CD = DB
Do đó tứ giác OBDC là hình thoi [đpcm]
Xem lại định nghĩa hình thoi.
c] Ta có:
BH $\perp$ MH [4] [gt]
OB $\perp$ BH [5] [AB là tiếp tuyến]
Mặt khác tam giác COE cân tại O [vì OC = OE = R]
Có M là trung điểm của CE.
Nên OM vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
Do đó OM $\perp$ MH [6]
Từ [4] [5] [6] suy ra tứ giác BHMO là hình chữ nhật.
Mà I là giao điểm của hai đường chéo BM và OH.
Nên I là trung điểm của HO [đpcm]
Xem lại định nghĩa hình chữ nhật
d] Ta có KE = KC [tinh chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Nên tam giác EKC cân tại K.
Mà M là trung điểm của CE
Do đó KM vừa là trung tuyến vừa là trung trực.
Khi đó điểm M và K thuộc đường trung trực của CE. [7]
Tương tự tam giác COE cân tại O có OM là trung trực
Nên điểm O và M thuộc đường trung trực của CE [8]
Từ [7] và [8] suy ra ba điểm O, M, K thẳng hàng.
a] Ta có BM // CD [gt] [1]
Ta có H là trung điểm của AC, O là trung điểm của AB
Nên OH là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra OH // BC
Hay MD // BC [vì O, H, M, D thẳng hàng] [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác MBCD là hình bình hành [đpcm]
Xem lại định nghĩa hình bình hành.
Xem lại định nghĩa hình bình hành.
| H là trung điểm của AC. |
b] Ta có MH $\perp$ AC [bán kính đi qua trung điểm của AC nên vuông góc với dây AC]
Nên $\widehat{MHC}$ = $90^0$ [1]
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì M thuộc tia phân giác của góc D tạo bởi hai tiếp tuyến DA và DC.
Khi đó M sẽ cách đều cạnh DC và DA [theo tính chất tia phân giác]
Nên MK $\perp$ DC
Do đó $\widehat{MKC}$ = $90^0$ [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác MKCH là tứ giác nội tiếp
Nên bốn điểm C, H, M, K cùng nằm trên một đường tròn [đpcm]
Xem lại định lí 3 về đường kính và dây của đường tròn.
c] Xét hai tam giác KAC và HAM có:
$\widehat{AKC}$ = $\widehat{AHM}$ = $90^0$
$\widehat{A}$ chung.
Nên $\Delta$ KAC $\sim$ $\Delta$ HAM
Suy ra $\frac{AK}{AH}$ = $\frac{AC}{AM}$
=> AH.AC = AM.AK [đpcm]
Nên $\widehat{MHC}$ = $90^0$ [1]
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì M thuộc tia phân giác của góc D tạo bởi hai tiếp tuyến DA và DC.
Khi đó M sẽ cách đều cạnh DC và DA [theo tính chất tia phân giác]
Nên MK $\perp$ DC
Do đó $\widehat{MKC}$ = $90^0$ [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác MKCH là tứ giác nội tiếp
Nên bốn điểm C, H, M, K cùng nằm trên một đường tròn [đpcm]
Xem lại định lí 3 về đường kính và dây của đường tròn.
c] Xét hai tam giác KAC và HAM có:
$\widehat{AKC}$ = $\widehat{AHM}$ = $90^0$
$\widehat{A}$ chung.
Nên $\Delta$ KAC $\sim$ $\Delta$ HAM
Suy ra $\frac{AK}{AH}$ = $\frac{AC}{AM}$
=> AH.AC = AM.AK [đpcm]
CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!
Be a Fan