Trong hình học không gian Oxyz, ta có nhiều cách để tính được khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Tuy nhiên, nếu đề cho biết tọa độ 1 điểm và phương trình 1 mặt phẳng thì ta nên dùng công thức dưới đây sẽ cho kết quả nhanh và chính xác.
Cơ sở lý thuyết
Trong không gian Oxyz có điểm P[a; b; c] không thuộc mặt phẳng [α], biết rằng mặt phẳng này có phương trình [α]: Ax + By + Cz + D = 0. Để tính khoảng cách từ điểm P[a; b; c] tới mặt phẳng [α] ta sử dụng công thức:
d[P, [α]] = $\frac{{\left| {a.A + b.B + c.C + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
Bài tập có lời giải
Bài tập 1.Trong không gian có mặt phẳng [α]: x 2y + 3z 4 = 0. Hãy tìm khoảng cách từ P[1; 1; 1] tới mặt phẳng [α]?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên: d[P, [α]] = $\frac{{\left| {1.1 + 1.\left[ { 2} \right] + 1.\left[ 3 \right] 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { 2} \right]}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{7}$
Kết luận: d[P, [α]] = $\frac{{\sqrt {14} }}{7}$
Bài tập 2. Cho mặt phẳng [α]: x + y + z 9 = 0. Một điểm P nằm trên trục tọa độ Oz thuộc hệ trục Oxyz, cách [α] là 5. Hãy tìm tọa độ của M?
Hướng dẫn giải
Vì P thuộc Oz nên nó có tọa độ là P[ 0; 0; z].
Theo công thức khoảng cách ở trên: d[P, [α]] = 5
$5 = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 1.z 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow z = 5\sqrt 3 + 9$
Kế luận: P[ 0; 0; $5\sqrt 3 + 9$]
Bài tập 3. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O của hệ trục Oxyz tới mặt phẳng [Q]: 2x 3y 5z + 2 = 0
Hướng dẫn giải
Gốc tọa độ của hệ trục Oxyz có tọa độ O[0; 0; 0]
Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên: d[O, [Q]] = $\frac{{\left| {2.0 + \left[ { 3} \right].0 + \left[ { 5} \right].0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left[ { 3} \right]}^2} + {{\left[ { 5} \right]}^2}} }} = \frac{{\sqrt {38} }}{{19}}$
Bài tập 4. Một mặt phẳng [α]: x + 2y + 3z 4 = 0. Biết khoảng cách từ mp [α] tới P thuộc trục Ox là 2. Hãy xác định tọa độ điểm P.
Hướng dẫn giải
Vì P thuộc Ox nên nó có tọa độ P[x; 0; 0]
Theo đề bài: d[P, [α]] = 2
Áp dụng công thức tính khoảng cách: 2 = $\frac{{\left| {\left[ { 1} \right].x + 2.0 + 3.0 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ { 1} \right]}^2} + {2^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow x = 2\sqrt {14} 4$
Vậy P[ $2\sqrt {14} 4$; 0; 0]
Bài viết khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng tạm dừng ở đây. Với mong muốn mỗi bài viết sẽ giúp bạn hiểu và vận dụng thành thạo công thức nên nếu còn thắc mắc hay góp ý hãy để lại và Toanhoc.org sẽ giúp bạn giải quyết.