Cấp số nhân là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Trong đó, các công thức cấp số nhân khá phức tạp. Vì vậy, để làm bài tập thì các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và bài tập cấp số nhân qua bài viết sau đây.
Cấp số nhân là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn] thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi [hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân]. Có nghĩa là:
$u_{n}$ là cấp số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n\epsilon N^{\ast }$
Ví dụ: Dãy số $[u_{n}]$, với $u_{n}=3^{n}$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội $q=3$.
2. Công bội q
q là công bội của cấp số nhân $[u_{n}]$ có
Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$. Tính công bội q
Ta có:
$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q
Ta có:
$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$
3. Tính chất cấp số nhân
-
$[u_{n}]$ là một cấp số nhân thì từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng [trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn] sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng sau nó.
$\Leftrightarrow [u_{k}]^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$
-
Nếu một cấp số nhân $[u_{n}]$ có số hạng đầu $[u_{1}]$ và công bội q thì số hạng tổng quát $[u_{n}]$ sẽ được tính bởi công thức:
$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$
Ví dụ : Cho cấp số nhân $[u_{n}]$ với công bội q > 0.
Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy tìm u4
Lời giải:
Ta có: u22 = u1 . u3 = 3
u32 = u2 . u4
Từ [1] do u2 > 0 [ vì u1=1 > 0 và q > 0]
$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$
-
Khi q = 0 thì dãy có dạng u1; 0;0…;0;… và Sn=u1
-
Khi q = 1 thì dãy có dạng u1;u1;u1;...;u1;... và Sn=nu1.
-
Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0;…; 0;… và Sn=u1.
4. Tổng hợp các công thức tính cấp số nhân cơ bản
4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN
Phương pháp:
-
Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1$
-
Kết luận:
-
Nếu q là không đổi thì dãy un là cấp số nhân
-
Nếu q thay đổi thì dãy un không là cấp số nhân
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng đầu tiên.
Lời giải:
Ta có 6 số hạng đầu tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64
Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un có số hạng thứ hai là 10 và số hạng thứ năm là 1250.
-
Tìm số hạng thứ nhất
-
Viết 5 số hạng đầu tiên
Lời giải:
-
Đặt r là công bội của cấp số nhân.
Ta có: r[5-2] = r3 hay r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ đó r = 5.
$\Rightarrow$ u1=10=5=2.
Số hạng thứ nhất là 2
Ví dụ 3: Bài cho cấp số nhân Un thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$. Dãy số Un trên là cấp số nhân đúng hay sai?
Lời giải:
Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số [Un] là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$
4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân Un có U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.
Từ công thức ta có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân Un có U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.
Lời giải:
Từ công thức ta có:
$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$
Ví dụ 3: Đề cho ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội q.
Lời giải:
Đặt q là công bội của cấp số nhân trên
Các số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng $\Rightarrow x+3z=4y$
4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân
Phương pháp:
Để tìm số hạng của cấp số nhân ta sử dụng công thức tính số hạng tổng quát Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.
Ví dụ 1: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:
Lời giải:
Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân [un] với u3 = 8 , u5 = 32. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó là?
Lời giải:
Gọi q là công bội của cấp số nhân [un], ta có $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$
Với q = 2, ta có u10 = u3 . q7 = 8 . 27 = 1024
Với q = -2, ta có u10 = u3 . q7= 8 . [-2]7 = -1024
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân [un], biết rằng số hạng đầu tiên u1 = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5
Lời giải:
Áp dụng công thức ta có : un = u1 . qn–1
$\Leftrightarrow$ u5 = u1 . q4 =3 . 24 = 48
4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy
Ta sử dụng công thức:
Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân:
$S = 2 + 6 + 18 + 13122$
Lời giải:
[un] có u1=2 và q = 3.
$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$
Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân [un] với
-
5 số hạng đầu của cấp số nhân trên là gì?
-
10 số hạng đầu của cấp số nhân [un] trên có tổng là bao nhiêu?
Lời giải:
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân Un thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$
-
Dãy số là cấp số nhân là đúng hay sai?
-
Tính S = u2 + u4 + u6... + u20
Lời giải:
-
Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số [Un] là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$
-
Dãy số: u2, u4, u6,..., u20 lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là u2 = 9, q = 3
$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}[3^{10}-1]$
4.5. Dạng 5: Tìm CSN
Phương pháp:
Xác định các thành phần cấu tạo nên một cấp số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q sau đó suy ra được công thức cho số hạng tổng quát .
Ví dụ 1: CSN [un] như sau, tìm u1 khi:
Lời giải:
Ví dụ 2: Dãy số nào là cấp số nhân:
-
1;0,2;0,04;0,008;...
-
1,22,222,2222,...
-
X,2x,3x,4x,...
-
2,3,5,7,...
Lời giải:
Xét đáp án A ta có:
u1 = 1, u2 = u1 . 0,2, u3 = u1 . [0,2]2, u4 = u1 . [0,2]3
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được un = [0,2]n
Khi đó $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{[0,2]^{n+1}}{0,2}=0,2$ không đổi
Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội q = 0,2
Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Lời giải:
Gọi cấp số nhân [un] cần tìm có công bội q, số hạng đầu tiên un.
Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . [1-q]}{1-q}$
s5' = u2 + u3 + u4 + u5 + u6
= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q
= q . [u1 + u2 + u3 + u4 + u5]
= q . S5
Mà S5 = 31; S5' = 62
$\Rightarrow q=2$
$u1=\frac{s_{5}.[1-q]}{1-q^{5}}=1$
Vậy cấp số nhân [un] là 1;2;4;8;16;32
5. Cấp số nhân lùi vô hạn
5.1. Định nghĩa
Nếu cấp số nhân [un] có công bội q thỏa mãn -1 < q > Xem thêm: