Chứng minh vuông góc trong hình học không gian
|
Giới thiệu bài học Bài giảng “Quan hệ vuông góc - Dạng 1. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian” sẽ giúp các em nắm vững các phương pháp để chứng minh đường vuông góc với đường trong không gian. Nội dung bài học I/ Lý thuyết Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P) $\left\{ \begin{align} & d\bot a,d\bot b \\ & a,b\subset \left( P \right) \\ & a\cap b \\ \end{align} \right.\Rightarrow d\bot \left( P \right)$  Định lý 2: (Ba đường vuông góc) .Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). Ví dụ. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mp khác nhau tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh BC$\bot $AD. b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH$\bot $(BCD). LỜI GIẢI
a) Chứng minh BC$\bot $AD. Vì tam giác ABC cân tại A nên \[AI\bot BC\],và tam giác DBC cân tại D nên \[DI\bot BC\]. Ta có: \[\left\{ \begin{align} & BC\bot AI \\ & BC\bot DI \\ & AI,DI\subset \left( ADI \right),AI\cap DI=I \\ \end{align} \right.\] \[\Rightarrow BC\bot mp\left( ADI \right)\Rightarrow BC\bot AD\] b) Chứng minh AH$\bot $(BCD). Có\[\left\{ \begin{align} & AH\bot DI\left( gt \right) \\ & AH\bot BC\left( \text{v }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ }BC\bot (ADI)\supset AH \right) \\ & BC,DI\subset \left( BCD \right),BC\cap DI=I \\ \end{align} \right.\Rightarrow AH\bot mp\left( BCD \right)\].
Quảng cáo Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể làm theo các cách sau: + Gọi u→ và v→ là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u→. v→ = 0 ⇒ (u→ ; v→) = 90° + Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc. + Nếu a // a’; b // b’ và a ⊥ b thì a' ⊥ b' Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN. Hướng dẫn giải Gọi P là trung điểm của AB ⇒ PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD. Suy ra Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P Do đó Chọn B Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Tứ giác không phải hình thang Quảng cáo Hướng dẫn giải Ta có Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD) ⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật Chọn C Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình vuông D. Hình thang Hướng dẫn giải Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A Gọi H là trung điểm của AB. Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên Suy ra AB ⊥ (CHC'). Do đó AB ⊥ CC' Ta có Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật Chọn B Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. A'C' ⊥ BD B. BB' ⊥ BD C. A'B ⊥ DC' D. BC' ⊥ A'D Hướng dẫn giải Chọn B Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi A đúng vì: Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải: Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ - AD→) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD ⊥ BC và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB ⊥ CD Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Đúng B. Sai từ bước 1 C. Sai từ bước 1 D. Sai bước 3 Hướng dẫn giải Chọn A. Quảng cáo Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC. Tính góc của hai đường thẳng AB và CD? A. (AB, CD) = 60° B. (AB, CD) = 30° C. (AB, CD) = 45° D. (AB, CD) = 90°
+ Ta chứng minh MN vuông góc với RQ : Ta có MC = MD = (a√3)/2 nên tam giác MCD cân tại M, do đó MN ⊥ CD Lại có RP // CD ⇒ MN ⊥ RQ + Tương tự ta có QP ⊥ AD + Trong tam giác vuông PDQ ta có : Chọn D Câu 2: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình vuông D. Hình thang
Chọn B + xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // AB và MN = (1/2)AB (1) + Tương tự có: PQ // AB và PQ = 1/2 AB (2) Từ (1) và (2) suy ra: MNPQ là hình bhình hành. Gọi H là trung điểm của AB. Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Trên các cạnh DC và BB' lấy các điểm M và N sao cho MD = NB = x (0 ≤ x ≤ a). Khẳng định nào sau đây là đúng? a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AC' ⊥ B'D' B. AC’ cắt B’D’ C. AC’ và B’D’ đồng phẳng D. Cả A, B, C đều đúng b) khẳng định nào sau đây là đúng ? A. AC' ⊥ MN B. AC’ và MN cắt nhau C. AC’ và MN đồng phẳng D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
Chọn A Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD Ta có: Mà: Từ (1), (2) ⇒ MENF là hình chữ nhật. Từ đó ta có: Chọn D Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB = a ; BD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN
Chọn B Kẻ NP // AC, nối MP Do NP là đường trung bình tam giác ABC ⇒ PN = (1/2).AC = a/2 Do MP là đường trung bình tam giác ABD ⇒ PM = (1/2).BD = 3a/2 Lại có (AC, BD) = (PN, PM) = ∠MPN = 90° ⇒ Tam giác MNP vuông tại P. Vậy Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC; BD; AD. Góc (IE; JF) bằng A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Chọn D Tam giác ABC có IJ là đường trung bình nên IJ // AB và IJ = 1/2 AB (1) Tam giác ABD có EF là đường trung bình nên EF // AB và EF = 1/2 AB (2) Từ (1) và (2) suy ra : Tứ giác IJEF là hình bình hành. Mặt khác Do đó IJEF là hình thoi Suy ra (IE ; JF) = 90°
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
