Chuyên de giá trị lớn nhất nhỏ nhất lớp 9

Ngày giảng:
CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I. Mục tiêu
Giúp HS nắm được các kiến thức, kĩ năng, phương pháp tìm GTLN, GTNN
của một số dạng biểu thức thường gặp.
II. Kiến thức cần nhớ
Các kiến thức thường dùng
1. Luỹ thừa :
a] x2 0 x R x2k 0 x R, k z - x2k 0
Tổng quát : f [x]2k 0 x R, k z - f [x]2k 0
Từ đó suy ra :
f [x]2k + m m
x R, k z
M - f [x]2k M
b] x 0 x 0
[ x ]2k 0
x 0; k z
2k
Tổng quát : [ A ] 0 A 0
[A là 1 biểu thức]
2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :
a] |x| 0
xR
b] |x+y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0
c] |x-y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y|
3. Bất đẳng thức côsi :
ai 0

; i = 1, n :

a1 a 2 .... a n

n a1 . a 2 .....a n
n

nN, n 2.

dấu "=" xảy ra a1 = a2 = ... = an
4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có :
[a1b1+ a2b2 +...+anbn]2 [ a12 a 22 .... a n2 ].[b12 b22 .... bn2 ]
ai

Dấu "=" xảy ra b = Const [i = 1, n ]
i
5. Bất đẳng thức Bernonlly :
Với a 0 :
[1+a]n 1+na
n N.
Dấu "=" xảy ra a = 0.
Một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức [A+B]2 0.
a. a2 + b2 2ab
b. [a + b]2 4ab
c. 2[ a2 + b2 ] [a + b]2
a b
2
d.
b a
1 1
4

e.

b a
a b

III. Một số phương pháp tìm cực trị
Phương pháp 01
[ Sử dụng phép biến đổi đồng nhất ]
Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức
đã cho về tổng các biểu thức không âm [hoặc không dương] và những hằng số.
Từ đó :
1.Để tìm Max f[x,y,...] trên miền D ta chỉ ra :


�f [ x, y...] �M
�
[ x0 , y0 ....] �R
�

sao cho f[x0,y0,...] = M

2. Để tìm Min f[x,y,...] trên miền D ta chỉ ra :
�f [ x, y...] �m
�
[ x0 , y0 ....] �R
�

sao cho f[x0,y0,...] = m

Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A1 = x2 + 4x + 7
Giải :Ta có : A1 = x2 + 4x + 7 = x2 + 4x + 4 + 3 = [x + 2]2 + 3 3 vì [x + 2]2 0.
A1 min = 3 x + 2 = 0 x = -2

Vậy A1 min = 3 x = -2
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A2 = -x2 + 6x - 15
Giải :Ta có : A2 = -x2 + 6x - 15 = - [x2- 6x + 9] - 6
A2 = - [x - 3]2 - 6 - 6 do -[x - 3]2 0
x R
A2 max = - 6 x - 3 = 0 x = 3
Vậy A2 max = - 6 x = 3
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A3 = [x-1][x-4][x-5][x-8]+2002
Giải : Ta có :
A3= [x-1][x-4][x-5][x-8]+2002 = [x-1] [x-8] [x-4] [x-5] + 2002
2
2
= [x -9x + 8] [x - 9x + 20] + 2002= {[x2-9x + 14] - 6}.{[x2-9x + 14] + 6} + 2002
= [x2-9x + 14]2 - 36 + 2002 = [x2-9x + 14]2 + 1966 1966 vì [x2-9x + 14]2 0 x
A3 min = 1966 x2-9x + 14 = 0

x2
�

x2
�

� . Vậy A3 min = 1966 �
x7
x7
�
�

2 x 2 10 x 1
[ x 1]

x 2 2x 1
2[ x 2 2 x 1] 6[ x 1] 9
2 x 2 10 x 1
6
9

2

Giải :Ta có: A4 = 2
2
x 1 [ x 1] 2
x 2x 1
[ x 1]

Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A4 =

2

3

1 3 3 vì =-
x 1
3
1 0
A4 Max = 3
x 1

2

3


1 0 x

x 1

x = -2

Vậy : A4 Max = 3 x = -2
Phương pháp 02:
[ Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ]
Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đưa về 1
bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương mà một vế là hằng số. Vì
vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta có thể
tìm được cực trị của 1 biểu thức nào đó.
1

Ví dụ 1 : Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B1 = a + b[a b]
1

1

b[a b]

Giải :Ta có : B1 = a + b[a b] = b + [a-b] + b[a b] 3. 3
[theo Côsi].
b.[ a b]
1

a 2


B1 3 B1 min = 3 b = a-b = b[a b]
b 1
a 2
b 1

Vậy : B1 min = 3


Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B2 =
1

1

1
1
+ a2 b2
ab

Giải :Theo bất đẳng thức Côsi : [x + y][ x y ] 2 x. y . 2
1

1

4

x y x y
Ta có : ab [

1
= 4 [với x,y > 0]

xy

[1]

a b 2 1
1
] =
4
2
4
ab

[2] do a+b = 1 ; a,b > 0

Áp dụng bất đẳng thức [1] và kết quả [2] ta có :
1
1
2
1
1
1
1
4
4
2

2

[
2

]
2
2
2
ab a b
2ab a b
2ab
2ab a b
2 2ab a 2 b 2
4
1
B2 2 + [a b] 2 6 do a + b = 1 B2min = 6 a = b =
2
1
Vậy : B2min = 6 a = b =
2

B2 =

Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B3 = x4 + y4 + z4
Giải :
Do xy + xz + yz = 4 16 = [xy + xz + yz]2 [x2+y2+z2] [x2+y2+z2]
[Theo Bunhiacôpxki] 16 [x2+y2+z2]2 [x4 + y4 + z4] [12+12+12]
16
16
2 3
B3min =
x=y=z=
3
3

3
16
2 3
Vậy : B3min =
x=y=z=
3
3

B 3 = x4 + y4 + z4

Ví dụ 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
x2 y 2
A
.
x y
x 2 y 2 x 2 2 xy y 2 2 xy [ x y ] 2 2 xy


x y
x y
x y
2
[ x y ] 2 xy
2
x y
2
x y
x y




Do x > y và xy = 1 nên: A
x y
x y
2
x y
2
Vì x > y � x y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có:

Giải: Ta có thể viết: A

x y 2
x y
.

2 x y
2
x y
2
2
Dấu = xảy ra � 2 x y � [ x y ] 4 � [ x y] 2 [Do x y > 0]
2
Từ đó: A �2 3
2
�x y 2
Vậy GTNN của A là 3 � �
�xy 1
A �2.

�

�
�x 1 2
�x 1 2
��
hay �
Thỏa điều kiện xy = 1
�y 1 2
�y 1 2


Phương pháp 03:
[ Sử dụng phương pháp đặt biến phụ ]
Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tương đương. Sử dụng
các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản
hơn, dễ xác định cực trị hơn.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12
Giải : C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12
C1 = [ x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25] - 6 [x2 + 3x + 5] + 17
C1 = [x2 + 3x + 5]2 - 6 [x2 + 3x + 5] + 17
Đặt : x2 + 3x + 5 = a
C1 = a2 - 6a + 17 = a2 - 6a + 9 + 8
C1 = [a-3]2 + 8 8
do [a-3]2 0
a.
x 1
�

C1min = 8 a - 3 = 0 a = 3 x2 + 3x + 2 = 0 �
x 2
�

x 1
�

Vậy : C1min = 8 �
x 2
�
x2

Ví dụ 2: Tìm GTNN của C2 = 2.

y

2

y2
x2




x y
- 5 6 với x,y > 0
y x


y
x
y2
x2
2



Giải :Đặt : y x = a 2 2
2 = a - 2
y
x

C2 = 2.[ a2 - 2] - 5a + 6 = 2a2 - 5a + 2
Ta thấy : a 2 C2 = 2a2 - 5a + 2 0
C2min = 0 a = 2 x = y > 0
Vậy : C2min = 0 x = y > 0
x

y

y
x
Ví dụ 3: Tìm GTNN của C3 = y x - 3 3
+ 2004 với x,y > 0
y
x

Giải : Đặt :

y
x
x
y

= a 2 y x = a2 2. Khi đó : C3 = [a2 - 2] - 3a + 2004

y
x

C3 = a2 - 3a + 2002 = a2 - 3a + 2 + 2000 = [a-1] [a-2] + 2000
Do ta có : a 2 a - 1> 0 ; a - 20 [a-1] [a-2] 0
C3 = [a-1] [a-2] + 2000 2000 C3 min = 2000 a = 2 x = y ; xy > 0
Vậy C3 min = 2000 x = y và xy > 0
Phương pháp 04:
[ Sử dụng biểu thức phụ ]
Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của 1 biểu
thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn.
Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức :
1
, -A, kA, k + A, |A| , A2
A

Ví dụ 1: Tìm GTLN của A =

[k là hằng số].
x2
x4 x2 1

Giải :
a] Xét x = 0 A = 0 giá trị này không phải là GTLN của A vì với x 0 ta có A > 0.


1
khi đó Amax Pmin
A
x4 x2 1

1
x 2 2 1
với cách đặt trên ta có : P =
2
x
x
1
1
ta có : x2 + 2 2 x 2 . 2 2 [theo côsi]
x
x

b] Xét x 0 đặt P =

P 2 + 1 = 3 Pmin = 3 x = 1
Do đó : Amax =

1
x=1
3
x

Ví dụ 2: Tìm GTNN của B = [ x 2002] 2 với x > 0
Giải :
Đặt P1 = - B như vậy P1max Bmin
x

Ta có : P1 = [ x 2002] 2 với x > 0 P > 0
1


Đặt P2 = P > 0 với x > 0 khi đó P2 Min P1 Max
1
[ x 2002] 2 x 2 2.x.2002 2002 2

P2 =
x
x
2
2
x 2.x.2002 2002 4.x.2002
P2 =
x
2
[ x 2002]
4.2002 4.2002 8008
P2 =
x
[ x 2002] 2
[do
0
x > 0]
x

P2 Min = 8008 x = 2002

1
x = 2002
8008
1
BMin = x = 2002

8008
1
Vậy BMin = x = 2002
8008

P1 Max =

Ví dụ 3: Cho a,b,c dương và a + b + c = 3
Tìm GTLN của C = 5a 4b 5b 4c 5c 4a
Giải :
Do a,b,c > 0 C > 0
Đặt : P = C2 khi đó PMax CMax
Ta có : P = [ 5a 4b 5b 4c 5c 4a ]2

P [12 + 12 + 12] [5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a] theo Bunhiacôpxki
P 3.9[a + b + c] = 81 do a + b + c = 3
PMax = 81 a = b = c = 1
2
C Max
= 81 a = b = c = 1
CMax = 9 a = b = c = 1
Vậy CMax = 9 a = b = c = 1
Ví dụ 4: Cho x, y, z, t > 0


x

y t

y


tx

t

Tìm GTNN của D = y t x t x y x y
Giải : Đặt P = 2D ta có :
2x

P = y t

xy
t

2[ y t ]
2y
2[t x]
2[ x y ]
2t




x
tx
y
xy
t

2x

y t 2y
x y 3 y t t x x t
t x 2t









2x t x
2y x y
2t 2 x
y
t
y t
2x
y t 2y
x y 3 y t t x x y
t x 2t






P=
y


t
2
x
t

x
2
y
x

y
2
t



2 x x y y t t
3
P 2
+
2
+
2
+ .6
[theo côsi]
2

P=


P 15 PMin = 15 x = y = t > 0
15
x=y=t
2
15
Vậy DMin =
x=y=t
2

DMin =

Ví dụ 5: Cho x, y > 0 và 7x + 9y = 63 Tìm GTLN của E = x.y
Giải :Đặt : P = 63.E ta có :
2

7x 9 y
P = 63xy = 7x.9y
[theo côsi]
2

2
3969
3969
63
P =
PMax =
4
4
2
9


x

63

2
Dấu "=" xảy ra 7x = 9y =

2
y 7
2

x 4,5
3969
63
EMax =
: 63 =

4
4
y 3,5

Ví dụ 6 : Cho x2 + y2 = 52

Tìm GTLN của F = 2x + 3y

Giải : Xét : P1 = |F| khi đó P1 = |2x + 3y|
Đặt : P2 = P12 khi đó P2 = [2x + 3y]2
Theo Bunhiacôpxky : P2 [4 + 9] [x2 + y2] = 13.13.4
x 4

x 4
hoặc
y 6
y 6

P2 Max = 13.13.4
P1 Max = 26
Do F |F| = P

x 4
x 4
. Vậy FMax = 26
y 6
y 6

FMax = 26

Ví dụ 7: Cho x,y > 0. Tìm GTNN của G =

y
x4 y4 x2 y2
x
4 2 2

4
y
x
y
x
y

x

Giải :
Đặt : P = G - 2 ta có :
P=

y
x4 y4 x2 y2
x
4 2 2

-2
4
y
x
y
x
y
x


x4
y4
x2
x2
y2
x y y2 x







2
.

1


2
.

1


2
.
. 2
P= 4
x4
y2
y x x 2 y
y2
x2
y


2

2


y

x

2

x2

y2

x y
[ x y] 2
0
P = 2 1 2 1
xy
y x
y

x


PMin = 0 x = y > 0
Vậy GMin = 2 x = y > 0
Phương pháp 05:
[ Phương pháp miền giá trị ]
Trong một số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một
hoặc hai biến số và đưa được về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức
về miền già trị của hàm số để giải và thấy rất hiệu quả.
Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f[x] có miền giá trị D. Gọi y là một giá

trị nào đó của f[x] với x D. Điều này có nghĩa là điều kiện để phương trình f[x] = y
có nghiệm. Sau đó giải điều kiện để phương trình f[x] = y có nghiệm [x là biến, coi y
là tham số].
Thường đưa đến biểu thức sau : m yM
Từ đó Min f[x] = m với x D.
Max f[x] = M với x D.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của f[x] = x2 + 4x + 5
Giải :
Gọi y là một giá trị của f[x] .
Ta có :
y = x2 + 4x + 5

x2 + 4x + 5 - y = 0 [có nghiệm]

' = 4 - 5 + y 0

y1
Vậy f[x] Min = 1 x = -2
Ví dụ 2: Tìm GTLN của f[x] = - x2 + 2x - 7
Giải :
Gọi y là một giá trị của f[x]. Ta có : y = - x2 + 2x - 7

x2 - 2x + y + 7
[có nghiệm]

' = 1 - y - 1 0

y-6
Vậy f[x]Max = -6 x = 1
Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của f[x] =


x 2 4x 6
x 2 2x 3

Giải :
Gọi y là một giá trị của f[x] .
x 2 4x 6
Ta có : y = 2
yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - 6 = 0
x 2x 3

[y - 1]x2 + 2 [y - 2].x + 3y - 6 = 0 [có nghiệm]
* Nếu y = 1 x = -

3
2

* Nếu y 1 ' = [y - 2]2 + [3y - 6][1 - y] 0
y2 - 4y + 4 - 3y2 + 3y + 6y - 6 0


- 2y2 + 5y + 2 0
Ta thấy :

1
y2
2

1