Cực trị toàn cực là gì

Tóm tắt kiến thức

1. Định nghĩa

Cho hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên khoảng \[[a ; b]\] và điểm \[x_0 \in[a ; b].\]

- Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho\[f[x] < f[x_0],x [x_0- h ;x_0+ h], x \neqx_0\] thì ta nói hàm số \[f\] đạt cực đại tại\[x_0.\]

- Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho \[f[x] > f[x_0],x [x_0- h ; x_0+ h], x \neq x_0\] thì ta nói hàm số \[f\] đạt cực tiểu tại\[x_0.\]

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1.Cho hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên khoảng \[K =[x_0- h ; x_0+ h] [h > 0]\] và có đạo hàm trên \[K\] hoặc trên\[K{\rm{\backslash }}\left\{ {{\rm{ }}{x_0}} \right\}\]

+] Nếu \[\left\{ \matrix{f'\left[ x \right] > 0 \, |\,\forall \left[ {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right] \hfill \cr f'\left[ x \right] < 0\,|\,\forall \left[ {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right] \hfill \cr} \right.\] thì \[x_0\]là điểm cực đại của hàm số

+] Nếu \[\left\{ \matrix{f'\left[ x \right] < 0\,|\,\forall \left[ {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right] \hfill \cr f'\left[ x \right] > 0\,|\,\forall \left[ {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right] \hfill \cr} \right.\]thì \[x_0\] là điểm cực tiểu của hàm số

Định lí 2. Cho hàm số\[y = f[x]\] có đạo hàm cấp hai trên khoảng\[K =[x_0- h ; x_0+ h] [h > 0].\]

- Nếu\[f '[x_0] = 0,f ''[x_0] > 0\] thì\[x_0\]là điểm cực tiểu của hàm số \[f.\]

- Nếu\[f '[x_0] = 0,f ''[x_0] < 0\]thì\[x_0\]là điểm cực đại của hàm số \[f.\]

3. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

- Tìm tập xác định.

- Tính \[f '[x].\] Tìm các điểm tại đó \[f '[x]\] bằng 0 hoặc \[f '[x]\] không xác định.

- Lập bảng biến thiên.

- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

- Tìm tập xác định.

- Tính \[f '[x]\]. Tìm các nghiệm\[x_{i}\]của phương trình \[f '[x]=0.\]

- Tính \[f ''[x]\] và \[f ''[x_{i}]\] suy ra tính chất cực trị của các điểm\[x_{i}\].

[Chú ý: nếu \[f ''[x_{i}]=0\] thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại\[x_{i}].\]

Loigiaihay.com