Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho điểm \[A[-1;3]\] và đường thẳng \[d\] có phương trình \[x-2y + 3 = 0\]. Tìm ảnh của \[A\] và \[d\] qua phép đối xứng tâm \[O\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \[A'\] là ảnh của \[A\] qua phép đối xứng tâm \[O\], khi đó \[O\] là trung điểm của \[AA'\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}\end{array} \right.\]
Tìm ảnh của đường thẳng \[d\] qua phép đối xứng tâm \[O.\]
Cách 1:
Bước 1: Lấy hai điểm \[B, C\] bất kì thuộc đường thẳng \[d.\]
Bước 2: Xác định ảnh \[B'; C'\] của \[B;C\] qua phép đối xứng tâm \[O.\]
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng \[B'C'\]; khi đó \[B'C'\] chính là ảnh của đường thẳng \[d\] qua phép đối xứng tâm \[O.\]
Cách 2:
Bước 1: Ảnh của \[d\] qua phép đối xứng tâm \[O\] là đường thẳng song song với \[d,\] suy ra dạng phương trình đường thẳng \[d'.\]
Bước 2: Lấy một điểm \[B\] bất kì thuộc \[d,\] tìm ảnh \[B'\] của điểm \[B\] qua phép đối xứng tâm \[O.\]
Bước 3: Thay tọa độ điểm \[B'\] vào phương trình đường thẳng \[d'\] và suy ra phương trình đường thẳng \[d'.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[A'\] là ảnh của \[A\] qua phép đối xứng tâm \[O\], khi đó \[O\] là trung điểm của \[AA'\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\
{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = 2.0 - \left[ { - 1} \right] = 1\\
{y_{A'}} = 2.0 - 3 = - 3
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow A'\left[ {1; - 3} \right]\]
Để tìm ảnh của đường thẳng \[d\] ta có thể dùng các cách sau:
Cách 1:
+] Lấy 2 điểm bất kì thuộc \[d.\]
[Bằng cách chọn giá trị cho \[x\] [hoặc \[y\]] rồi thay vào phương trình của \[d\], suy ra giá trị của \[y\] [hay \[x]\]. ]
Chọn \[y=0\] ta có: \[x-2.0+3=0 \Rightarrow x=-3\RightarrowB[-3;0] \in d\]
Chọn \[x=-1\] ta có: \[-1-2y+3=0 \Rightarrow y=1\RightarrowC [-1;1] \in d\].
Do đó, đường thẳng \[d\] đi qua \[B[-3;0]\] và \[C [-1;1]\].
+] Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm \[O\]:
\[B' = {D_{O}}[B] = [3;0]\] và \[C' = {D_{O}}[C] = [1;-1]\].
Đường thẳng \[B'C'\] là ảnh của \[d\] qua phép đối xứng tâm \[O.\]
\[\overrightarrow {B'C'} = \left[ {2;1} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{n_{B'C'}}} = \left[ {1; - 2} \right]\] là VTPT của \[B'C'.\]
+] Phương trình\[B'C'\] đi qua \[B'[3;0]\], có \[VTPT \, \overrightarrow {{n_{B'C'}}} = \left[ {1; - 2} \right]\] là:
\[1[x-3]-2[y-0]=0\] hay \[x-2y-3=0.\]
Cách 2:
Đường thẳng \[d\] đi qua \[B[-3;0]\]
Do \[O\] không thuộc \[d\] nên gọi \[d'\] là ảnh của \[d\] qua phép đối xứng tâm \[O\] thì nó song song với \[d\].
Do đó \[d'\] có phương trình \[x- 2y +C =0\] \[\left[ {C \ne 3} \right]\].
Gọi \[B'\] là ảnh của \[B\] qua phép đối xứng tâm \[O\] ta có: \[B' =[ 3;0]\]
Vì \[B' \in [d'] \Rightarrow 3+C=0 \Rightarrow C = -3\] [tm].
Vậy ảnh của \[d\] qua phép đối xứng tâm \[O\] là đường thẳng \[d'\] có phương trình \[x-2y-3=0\]