Đề bài
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có \[AB = AC,\,\widehat {BAC} = {90^ \circ }\]. Biết M[1 ; -1] là trung điểm cạnh BC và \[G\left[ {\frac{2}{3};0} \right]\] là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Lời giải chi tiết
\[\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 1 = 3\left[ {\frac{2}{3} - 1} \right]\\{y_A} + 1 = 3[0 + 1]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 0\\{y_A} = 2.\end{array} \right.\]
Vậy A có tọa độ [0 ; 2].
Đặt B[x ; y] ta có :
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {MA} \\M{B^2} = M{A^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {x - 1} \right]\left[ {0 - 1} \right] + \left[ {y + 1} \right]\left[ {2 + 1} \right] = 0\\{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = 1 + 9\end{array} \right.\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y + 4\\{[3y + 3]^2} + {[y + 1]^2} = 10\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y + 4\\{[3y + 3]^2} + {[y + 1]^2} = 10\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y + 4\\10{y^2} + 20y = 0\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0,x = 4\\y = - 2,x = - 2\end{array} \right.\]
Vậy ta có tọa độ của điểm B và C như sau : B[4 ; 0], C[-2 ; -2] hoặc B[-2 ; -2], C[4 ; 0].