Đề bài
Cho khối lập phươngABCD.ABCDcó cạnh bằnga. GọiKlà trung điểm củaDD. Tính khoảng cách giữaCKvàAD.
Lời giải chi tiết
GọiMlà trung điểm củaBB.
Ta có \[A'M//KC\] nên
\[\eqalign{ & d\left[ {CK,A'D} \right] = d\left[ {CK,\left[ {A'MD} \right]} \right] \cr & = d\left[ {K,\left[ {A'MD} \right]} \right]. \cr} \]
Đặt \[d\left[ {CK,A'D} \right] = x.\] Ta có
\[{V_{A'.MDK}} = {V_{K.A'MD}} = {1 \over 3}{S_{A'MD}}.x\;\;\;[1]\]
Mặt khác
\[{V_{A'.MDK}} = {V_{M.A'DK}}\]
\[ = {1 \over 3}{S_{A'DK}}.d\left[ {M,\left[ {A'DK} \right]} \right]\]
\[= {1 \over 3}\left[ {{1 \over 2}a.{1 \over 2}a} \right].a = {{{a^3}} \over {12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra : \[{S_{A'MD}}.x = {{{a^3}} \over 4}.\]
Hạ
\[\eqalign{ & DI \bot A'M \Rightarrow AI \bot A'M \cr & \Rightarrow AI.A'M = AA'.d\left[ {M,AA'} \right] = {a^2} \cr&\Rightarrow AI = {{2a} \over {\sqrt 5 }} \cr & \Rightarrow D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} = {a^2} + {{4{a^2}} \over 5} = {{9{a^2}} \over 5}\cr& \Rightarrow DI = {{3a} \over {\sqrt 5 }}. \cr} \]
Vậy \[{S_{A'MD}} = {1 \over 2}DI.A'M = {1 \over 2}.{{3a} \over {\sqrt 5 }}.{{a\sqrt 5 } \over 2} = {{3{a^2}} \over 4}.\]
Từ [3] và [4] suy ra \[x = {a \over 3}.\]