Giải bài tập SGK Toán 7 Hình học tập 2 [trang 83]
Giải bài tập Toán 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác để xem gợi ý giải các bài tập trang 83 thuộc chương trình Hình học lớp 7 tập 2.
Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 83 Toán lớp 7 tập 2. Qua đó giúp học sinh lớp 7 tham khảo nắm vững hơn kiến thức trên lớp. Mời các bạn cùng theo dõi bài tại đây.
1. Đường cao của tam giác
- Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Ví dụ: Đoạn thẳng AI là một đường cao của tam giác ABC, còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A [của tam giác ABC].
- Mỗi tam giác có ba đường cao.
2. Tính chất ba đường cao của một tam giác
Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân
Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
Nhận xét:
Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường [đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này] trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân
Đặc biệt đối với tam giác đều, từ tính chất trên suy ra: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Xem gợi ý đáp án
+ Xét ΔABC vuông tại A
AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB
hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A
⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF [E thuộc AB, F thuộc AC], trực tâm H.
+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó
Vậy E nằm ngoài A và B
⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.
+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 59 [trang 83 SGK Toán 7 Tập 2]
Cho hình 57.
a] Chứng minh NS ⊥ LM
b] Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Xem gợi ý đáp án
a] Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
b]
+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :
ΔNMQ vuông tại Q có:
Bài 60 [trang 83 SGK Toán 7 Tập 2]
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K [J ở giữa I và K].
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
Xem gợi ý đáp án
Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.
l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.
Vậy KN ⏊ IM
Bài 61 [trang 83 SGK Toán 7 Tập 2]
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a] Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b] Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
Xem gợi ý đáp án
Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.
a] ΔHBC có :
AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC
CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
b] Tương tự :
+ Trực tâm của ΔHAB là C [C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC]
+ Trực tâm của ΔHAC là B [B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB]
Bài 62 [trang 83 SGK Toán 7 Tập 2]
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao [xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn] bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Xem gợi ý đáp án
+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.
BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.
AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A [đpcm].
+ TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE [như hình vẽ minh họa]
Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :
BC [cạnh chung]
CE = BD [giả thiết]
⇒ ∆EBC = ∆DCB [cạnh huyền - cạnh góc vuông]
Suy ra
Hay
+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF [như hình vẽ minh họa]
CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A [như cmt] ⇒ AB = AC.
CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B [như cmt] ⇒ AB = BC:
⇒ AB = AC = BC
⇒ ΔABC đều.
Cập nhật: 05/04/2021
Hướng dẫn giải Toán lớp 7: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác trang 53 - 56 sách giáo khoa được trình bày chi tiết, dễ hiểu dưới đây sẽ giúp các em tham khảo và vận dụng giải các bài tập cùng dạng toán hiệu quả nhất.
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 1 trang 53 SGK
Vẽ tam giác ABC với AC > AB. Quan sát hình và dự đoán xem ta có trường hợp nào trong các trường hợp sau:
1] ∠B = ∠C
2] ∠B > ∠C
3] ∠B < ∠C .
Lời giải
Ta vẽ ΔABC có AB = 4 cm; AC = 5 cm
Quan sát hình, ta dự đoán xảy ra trường hợp 2] ∠B > ∠C
Trả lời câu hỏi Toán lớp 7 Tập 2 Bài 1 trang 53
Gấp hình và quan sát:
• Cắt một tam giác ABC bằng giấy với AC > AB [h.1]
• Gấp tam giác ABC từ đỉnh A sao cho cạnh AB chồng lên cạnh AC để xác định tia phân giác AM của góc BAC, khi đó điểm B trùng với một điểm B’ trên cạnh AC [h.2].
Hãy so sánh góc AB’M và góc C.
Lời giải
Ta có: góc AB’M là góc ngoài của tam giác MB’C
Nên ∠[BMC] + ∠C= [AB'M] ⇒ ∠[AB'M] > ∠C
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 SGK Bài 1 SGK trang 55
Vẽ tam giác ABC với B^ > C^. Quan sát hình và dự đoán xem ta có trường hợp nào trong các trường hợp sau:
1] AB = AC
2] AB > AC
3] AC > AB.
Lời giải
Ta vẽ tam giác ABC có ∠B = 70o; ∠C = 50o
Quan sát hình, ta dự đoán xảy ra trường hợp 3] AC > AB
Giải Bài 1 trang 55 SGK Toán 7 tập 2
So sánh các góc của tam giác ABC, biết rằng:
AB = 2cm, BC = 4cm, AC = 5cm
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ, ta có:
Góc đối diện cạnh BC là Â
Góc đối diện cạnh AC là B̂
Góc đối diện cạnh AB là Ĉ
Mà: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn
Tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 4cm, AC = 5cm ⇒ AB < BC < CA ⇒ Ĉ < Â < B̂.
Giải Bài 2 trang 55 SGK Toán lớp 7 tập 2
So sánh các cạnh của tam giác ABC, biết rằng: Â = 80º, B̂ = 45º
Lời giải:
Theo định lý tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:
Cạnh đối diện góc B là AC
Cạnh đối diện góc C là AB
Cạnh đối diện góc A là BC
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Vì 450 < 550 < 800 hay B̂ < Ĉ < Â ⇒ AC < AB < BC.
Giải Bài 3 Toán 7 tập 2 trang 56 SGK
Cho tam giác ABC với góc A = 100o, góc B = 40o.
a] Tìm cạnh lớn nhất của tam giác ABC.
b] Tam giác ABC là tam giác gì?
Lời giải:
a] Trong tam giác ABC có góc A là góc tù nên cạnh đối diện với góc A là cạnh lớn nhất.
Cạnh đối diện với góc A là BC nên suy ra cạnh BC lớn nhất.
b] Tam giác ABC là tam giác tù vì có 1 góc A tù.
Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác ABC ta có:
Suy ra ∆ABC cân tại A.
Giải Bài 4 SGK Toán 7 tập 2 trang 56
Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc gì [nhọn, vuông, tù]? Tại sao?
Lời giải:
Trong một tam giác ta luôn có:
+ Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn
⇒ góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất.
+ Góc nhỏ nhất luôn là góc nhọn.
[Giả sử tồn tại tam giác có góc nhỏ nhất không phải góc nhọn
⇒ Góc nhỏ nhất ≥ 90º ⇒ cả ba góc ≥ 90º ⇒ tổng ba góc trong tam giác ≥ 90º.3 = 270º.
Điều này vô lý vì tổng ba góc trong tam giác = 180º].
Do đó góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.
Giải Toán 7 tập 2 Bài 5 trang 56 SGK
Ba bạn Hạnh, Nguyên, Trang đi đến trường theo ba con đường AD, BD, và CD [h.5]. Biết rằng ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng và góc ACD là góc tù.
Hỏi ai đi xa nhất, ai đi gần nhất? Hãy giải thích.
Hình 5
Lời giải:
+ Trong ∆BCD có góc C tù [gt] nên góc C lớn nhất ⇒ BD lớn nhất [vì BD là cạnh đối diện với góc C] ⇒ BD > CD [1].
+ Áp dụng định lý góc ngoài trong tam giác BCD ta có :
Giải Bài 6 tập 2 trang 56 SGK Toán 7
Xem hình 6, có hai đoạn bằng nhau BC và DC. Hỏi rằng kết luận nào trong các kết luận sau là đúng? Tại sao?
Lời giải:
Vì D nằm giữa A và C [giả thiết]
⇒ AC = AD + DC = AD + BC [DC = BC theo đề bài]
⇒ AC > BC
Mà trong tam giác ABC :
Góc đối diện cạnh AC là góc B
Góc đối diện cạnh BC là góc A
Giải Bài 7 SGK Toán 7 trang 56 tập 2
Một cách chứng minh khác của định lí 1:
Cho tam giác ABC với AC > AB. Trên tia AC, lấy điểm B' sao cho AB' = AB.
a] Hãy so sánh góc ABC với góc ABB'.
b] Hãy so sánh góc ABB' với góc AB'B.
c] Hãy so sánh góc AB'B với góc ACB.
Lời giải:
a] Trên tia AC, ta có : AC > AB mà AB = AB’ ⇒ AC > AB’ ⇒ B’ nằm giữa A và C.
⇒ tia B’B nằm giữa hai tia BA và BC.
b] ∆ABB’ có AB = AB’ nên ∆ABB’ cân tại A.
c] Vì góc AB'B là góc ngoài tại B’ của ∆BB’C
Ta lại có: AC > BC [cmt]
⇒ B̂ > Â [theo định lí 1]
Hay  < B̂.
Vậy kết luận c] là đúng.
nên góc ABD cũng là góc tù.
Trong ∆ABD có góc B tù [cmt] nên góc B lớn nhất ⇒ AD lớn nhất [vì AD là cạnh đối diện với góc B] ⇒ AD > BD
[2].
Từ [1] và [2] suy ra AD > BD > CD.
Vậy Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất.
CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để tải giải toán lớp 7 trang 53 - 56 file word, pdf hoàn taofn miễn phí
Đánh giá bài viết