Gọi m và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=-2x^2 trên đoạn [-2;-1]
|
Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f[x]| trên đoạn [a;b], nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12. Nội dung bài viết Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f[x]| trên đoạn [a;b]: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f[x] trên đoạn [a; b]. Phương pháp giải. Thực hiện theo các bước sau. Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f[x] trên đoạn [a; b], giả sử thứ tự là M, m. Bước 2. Tìm max y = max {M ; m}. Bước 3. Kết luận. Tim tham số để GTLN của hàm số y = f[x] trên đoạn [a, BJ bằng k. Thực hiện theo các bước sau. Bước 1. Tìm max f[x] = max. Bước 2. Xét các trường hợp tìm m, thử lại các giá trị m đó. Bài tập 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 9x + 24x – 68 trên đoạn [-1; 4] bằng. Bảng biến thiên của hàm số y = x – 9x + 24x – 68 trên [-1; 4]. Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = x – 9x + 24x – 68 trên đoạn [-1; 4] là. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − x + 24x – 68 trên đoạn [-1; 4] bằng 48. Cách khác: Theo trường hợp 3 thì M = –48 < 08 min y = 48. Bài tập 2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số x + mx + m trên đoạn [1; 2] bằng 2. Số phần tử của tập S là. Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn. Bài tập 3. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f[x] = 2x – 14x + 48x + m – 30 trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng Tổng các phần tử của S là 136. Bài tập 4. Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = + x – 4 + m bằng 18. Xét hàm số g[x]= 4x + x – 4 liên tục trên tập xác định [-2; 2] Do đó may g[x] khi x = -2, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Xét hàm số $f[x]=-{{x}^{2}}+4x-m$ trên [-1;3], có $f'[x]=-2x+4$ Phương trình $f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1\le x\le 3 \\ {} -2x+4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$ Tính $f[-1]=-5-m;f[2]=4-m;f[3]=3-m$ Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[2]=4-m=10\Rightarrow m=-6$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Xét hàm số $f[x]=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ trên [-1;1], có $f'[x]=-3{{x}^{2}}-6x$ Phương trình$f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1\le x\le 1 \\ {} -3{{x}^{2}}-6x=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=0$ Tính $f[-1]=-2+a;f[0]=a;f[1]=-4+a$ Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[1]=-4+a=0\Rightarrow a=4.$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Ta có $f'[x]=-3{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m-1;\forall x\in \mathbb{R}.$ Mà $\Delta '=-2{{m}^{2}}-3m-3<0;\forall m\in \mathbb{R}$ Suy ra $y'<0;\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1].$ Do đó hàm số $f[x]$ nghịch biến trên $[-1;1]\Rightarrow \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,y=y[1]=-6$ Lại có $y[1]=-2-{{m}^{2}}\to -2-{{m}^{2}}=-6\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=2 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right..$ Vậy $\sum{m=0.}$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Ta có $y'=3{{[x+m]}^{2}}+3{{[x+n]}^{2}}-3{{x}^{2}}=3\left[ {{x}^{2}}+2[m+n]x+{{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right]$ Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta '={{[m+n]}^{2}}-{{m}^{2}}-{{n}^{2}}\le 0\Leftrightarrow mn\le 0$ Lại có $P=4\left[ {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right]-\left[ m+n \right]=4{{\left[ m+n \right]}^{2}}-8mn-\left[ m+n \right]\ge 4{{\left[ m+n \right]}^{2}}-\left[ m+n \right]$ $=4{{[m+n]}^{2}}-2.2[m+n].\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}={{\left[ 2[m+n]-\frac{1}{4} \right]}^{2}}-\frac{1}{16}\ge -\frac{1}{16}\Rightarrow {{P}_{\min }}=-\frac{1}{16}$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Xét hàm số $f[x]=\frac{x-{{m}^{2}}}{x+8}$ trên [0;3], có $f'[x]=\frac{8+{{m}^{2}}}{{{[x+8]}^{2}}}>0;\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]$ Suy ra $f[x]$ là hàm số đồng biến trên $[0;3]\to \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[0]=-\frac{{{m}^{2}}}{8}$ Theo bài ta, ta có $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=-2\Leftrightarrow -\frac{{{m}^{2}}}{8}=-2\Leftrightarrow {{m}^{2}}=16\Rightarrow {{m}_{\max }}=4$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Xét hàm số $y=\frac{x+m}{x+1}$ trên [1;2], có $f'[x]=\frac{1-m}{{{[x+1]}^{2}}};\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]$ Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 1;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,y+\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 1;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,y=f[1]+f[2]=\frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=\frac{16}{3}\Rightarrow m=5$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Xét hàm số $f[x]=\frac{x-m}{x+2}$ trên [0;1]. Có $f'[x]=\frac{m+2}{{{[x+2]}^{2}}};\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]$
Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[1]=\frac{1-m}{3};\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[0]=-\frac{m}{2}$ Theo bài ra, ta có $\frac{1-m}{3}\ge 2\left[ -\frac{m}{2} \right]\Leftrightarrow 1-m\ge -3m\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$ Kết hợp với $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 11 giá trị nguyên m
Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[0]=-\frac{m}{2};\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[1]=\frac{1-m}{3}$ Theo bài ra, ta có $-\frac{m}{2}\ge 2.\left[ \frac{1-m}{3} \right]\Leftrightarrow -3m\ge 4-4m\Leftrightarrow m\ge 4$ [vô lý] Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Ta có $f'[x]=\frac{1.[-m]-1.[-{{m}^{2}}-2]}{{{[x-m]}^{2}}}=\frac{{{m}^{2}}-m+2}{{{[x-m]}^{2}}}>0;\forall x\ne m$ Với $x=m\notin \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.,$ ta được $f[x]$ là hàm số đồng biến trên $[0;4]$ Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[4]=\frac{2-{{m}^{2}}}{4-m}.$ Theo bài ra, ta có $\frac{2-{{m}^{2}}}{4-m}=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=2 \\ {} m=-3 \\ \end{array} \right.$ Kết hợp điều kiện: $\left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.\to m=-3$ là giá trị cần tìm.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Ta có $\underset{[-\infty ;0]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[-2]\xrightarrow{{}}\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f[x]=+\infty \Rightarrow a<0$ Lại có $f'[x]=3a{{x}^{2}}+c$ mà $\underset{[-\infty ;0]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[-2]\Rightarrow f'[-2]=0\Leftrightarrow 12a+c=0$ Do đó $f[x]=a{{x}^{3}}+cx+d=a{{x}^{3}}-12ax+d$ Xét hàm số $f[x]=a{{x}^{3}}-12ax+d$ trên [1;3], có $f'[x]=3a{{x}^{2}}-12a;$ Phương trình $f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1\le x\le 3 \\ {} 3a{{x}^{2}}-12a=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1\le x\le 3 \\ {} {{x}^{2}}-4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$ Tính $f[1]=d-11a;f[2]=d-16a;f[3]=d-9a.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;3]}{\mathop{\max }}\,f[x]=d-16a.$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Ta có $\underset{[-\infty ;0]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[-1]\xrightarrow{{}}\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f[x]=+\infty \Rightarrow a>0$ Lại có $f'[x]=4a{{x}^{3}}+2bx$ mà $\underset{[-\infty ;0]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[-1]\Rightarrow f'[-1]=0\Leftrightarrow b=-2a$ Do đó $f[x]=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$ Xét hàm số $f[x]=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$ trên $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ có $f'[x]=4a{{x}^{3}}-4ax$ Phương trình $f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\ {} 4a{{x}^{3}}-4ax=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\ {} x[{{x}^{2}}-1]=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$ Tính $f\left[ \frac{1}{2} \right]=c-\frac{7a}{16};f[1]=c-a;f[2]=8a+2.$ Vậy $\underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[1]=c-a.$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Xét hàm số $f[x]={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ trên [0;2], có $f'[x]=4{{x}^{3}}-4x;f'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$ Tính $\left| f[0] \right|=\left| m \right|;\left| f[1] \right|=\left| m-1 \right|;\left| f[2] \right|=\left| m+8 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m-1 \right|;\left| m+8 \right| \right\}$
Vậy có 2 giá trị m cần tìm và thuộc khoảng $[-5;-2].$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Xét hàm số $g[x]=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [-1;3], có $g'[x]=6{{x}^{2}}-6x;g'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$ Tính $\left\{ \begin{array} {} f[-1]=\left| m-5 \right|;f[0]=\left| m \right| \\ {} f[1]=\left| m-1 \right|;f[3]=\left| m+27 \right| \\ \end{array} \right.$. Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ \left| m-5 \right|;\left| m+27 \right| \right\}$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 2;3;4;...;8 \right\}$. Thử lại $\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên âm m cần tìm.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có 7 giá trị nguyên m cần tìm. Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Xét hàm số $f[x]={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [1;2], có $f'[x]=3{{x}^{2}}-6x;f'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$ Tính $\left| f[0] \right|=\left| m \right|;\left| f[1] \right|=\left| m-2 \right|;\left| f[2] \right|=\left| m-4 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$. Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y$ có giá trị nhỏ nhất là 2.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Xét hàm số $g[x]=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{3}}+m$ trên [-3;2] có $g'[x]=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$ Phương trình $g'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3\le x\le 2 \\ {} 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=0 \\ \end{array} \right.$ Tính $\left\{ \begin{array} {} f[-1]=\left| m-5 \right|;f[0]=\left| m \right| \\ {} f[-3]=\left| m+243 \right|;f[2]=\left| m-32 \right| \\ \end{array} \right..$ Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ \left| m-32 \right|;\left| m+243 \right| \right\}$
Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Xét hàm số $u[x]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}$ trên [0;2], có $u'[x]=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x$ Phương trình $u'[x]=0\Leftrightarrow x\left\{ 0;1;2 \right\}.$ Khi đó $u[0]=u[2]=a;u[1]=a+1$ Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$ và $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$
Kết hợp với điều kiện $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ -3;3 }\!\!]\!\!\text{ }$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ 1;2;3 \right\}$
Kết hợp $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ -3;3 }\!\!]\!\!\text{ }$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ -3;-2 \right\}$ Vậy có 5 giá trị nguyên của a.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Đặt $t=\frac{x-1}{2}\in [-1;1]\Rightarrow t=\cos x\Rightarrow x=2\cos x+1$ Khi đó $f[x]=\left| {{[2\cos x+1]}^{3}}+a.{{[2\cos x+1]}^{2}}+b.[2\cos x+1]+c \right|$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left| 8{{\cos }^{3}}x+[12+4a].{{\cos }^{2}}x+[6+4a+2b].\cos x+a+b+c+1 \right|$ Suy ra $\frac{f[x]}{2}=\left| 4{{\cos }^{3}}x+[6+2a].{{\cos }^{2}}x+[3+2a+b].\cos x+\frac{a+b+c+1}{2} \right|$ $\Leftrightarrow \frac{f[x]}{2}\le \left| 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x \right|=\left| \cos 3x \right|\le 1$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array} {} 6+2a=0 \\ {} 3+2a+b=-3 \\ {} a+b+c+1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=-3 \\ {} b=0 \\ {} c=2 \\ \end{array} \right.$ Video liên quan |
