Lấy điểm E trên MN sao cho BE song song với AM
|
1. Khái niệm hai đường thẳng song song- Hai đường thẳng không có điểm chung được gọi là hai đường thẳng song song. - Kí hiệu: m // n. 2. Dấu hiệu nhận biết 3. Các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song- Phương pháp 1: Tìm hai góc trong cùng phía bù nhau.- Phương pháp 2: Tìm hai góc so le trong bằng nhau.- Phương pháp 3: Tìm các góc đồng vị bằng nhau.- Phương pháp 4: Áp dụng tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song: "Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó".- Phương pháp 5: Tìm ra hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. - Phương pháp 6: Tìm ra hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba. 4. Một số ví dụ cụ thể chứng minh hai đường thẳng song song  Bài tập 3: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên các cạnh AB và AC, lấy lần lượt điểm D và E sao cho AD = AE. Chứng minh: DE // BC.Hướng dẫn giải: Hi vọng với bài viết chia sẻ các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song trong hình học trên đây của chúng tôi đã phần nào hỗ trợ các em học sinh trong việc hoàn thành các bài tập dễ dàng hơn. Nếu có những bài tập hay hoặc cách giải toán nào nhanh chóng, đơn giản, sáng tạo, các bạn cùng chia sẻ với chúng tôi nhé! Các bạn cũng có thể đón đọc thêm các bài viết khác của chúng tôi: Phương pháp chứng minh 2 góc bằng nhau, Phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau, Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau, Phương pháp chứng minh 2 tam giác đồng dạng,... Nếu các em vẫn băn khoăn vì chưa biết vận dụng các kiến thức lý thuyết cũng như các Phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song trong hình học như thế nào cho linh hoạt, đúng đắn trong các bài tập, vậy em có thể tham khảo một số gợi ý dưới đây của chúng tôi để hoàn thành các bài tập nhanh chóng, chính xác và dễ dàng nhất.
Bài 1: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh AB2= AM.AN. b) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, I, C, O cùng nằm trên một đường tròn c) Gọi K là giao điểm của BC và AI. Chứng minh rằng: Bài 2: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua hai điểm B và C. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn). Gọi E là hình chiếu của O trên xy; AO cắt MN tại F. a) Chứng minh AM2= AB . AC b) Chứng minh 5 điểm A, N, O, E, M cùng nằm trên một đường tròn c) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng IN // AB d) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi. Bài 3: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AN không chứa M lấy điểm B sao cho . Đường thẳng BO cắt AN tại D, cắt đường thẳng AM tại C. Đường thẳng BM cắt AN tại K. Gọi I là trung điểm của AC. BI cắt AN tại E. Chứng minh: a) Năm điểm A, B, N, O, M cùng nằm trên một đường tròn. b) BD là phân giác của tam giác BKN. c) DN.AK = AN.DK d) Tam giác BEN cân Bạn đang xem nội dung tài liệu Tài liệu ôn tập Hình học Lớp 9 - Dạng bài: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Dạng bài: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau Bài 1: Cho đường tròn đường kính AB, C là một điểm trên đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D, gọi M là một điểm chính giữa cung BD. Đường thẳng MC cắt đường tròn tại E, đường thẳng DE cắt AM tại K. Đường thẳng đi qua C và song song với AD cắt DE tại F. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKCE nội tiếp một đường tròn b) CK ^ AD c) CF = CB Bài 2: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (); D là điểm thuộc bán kính OC. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E, cắt tia BA tại F. a) Chứng minh tứ giác ADCF là tứ giác nội tiếp b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng : c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường tròn (O) biết BC = 8cm; Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, AD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh rằng ADFG; GHFE là các tứ giác nội tiếp Tam giác CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. a) Chứng minh rằng b) Gọi M là điểm trên cung AC, trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MC. Chứng minh rằng bốn điểm B; D; E; C thuộc một đường tròn Bài 5: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B và D. Gọi A là điểm chính giữa cung lớn BD. Các tia AD, AB cắt tiếp tuyến Bx và Dy của đường tròn lần lượt tại N và M. Chứng minh. Tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn MN// BD MA.MB = MD2 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, với AC > AB. Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính MC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Đường thẳng qua A và D cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. Chứng minh Chứng minh AC là tia phân giác của góc SCB d) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. e) Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE f) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE k) Biết bán kính đường tròn (O) là R và . Tính độ dài cung MS. Bài 7: Cho đường tròn (O;R) có AB là đường kính cố định, còn CD kà đường kính thay đổi. Gọi (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại B; AC, AD lần lượt cắt (d) tại P, Q. Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn Chứng minh đường trung tuyến AI của tam tam giác AQP vuông góc với DC c) Khi CD thay đổi thì tâm E của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD chuyển động trên đường nào ? Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại F; E. Gọi H là giao điểm của BE, CF; D là giao điểm của AH với BC. 1. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AEHF; AEDB nội tiếp đường tròn b) AF.AB = AE.AC 2. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu AD +BE + CF = 9r thì tam giác ABC đều. Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AC > BC) nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC. Chứng minh rằng: MAOH là tứ giác nội tiếp Tia HM là phân giác của góc AHB c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại E và F. Nối HE cắt AC tại F, nối HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng PQ//EF. Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng các tứ giác BFEC, BFHD nội tiếp Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF AD cắt cung BC tại M. Chứng minh rằng tam giác BHM cân. Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua M và vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q. AM cắt CP tại E; BM cắt CQ tại F. Chứng minh rằng tứ giác APMC nội tiếp. Chứng minh rằng Chứng minh rằng EF // AB Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là một điểm thuộc nửa đường tròn. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên đoạn AB lấy điểm E sao cho AE = AC; DE cắt BC tại H; AH cắt nửa đường tròn tại K. Chứng minh: a) b) OK ^ BC c) Tứ giác ACHE nội tiếp d) B, K, D thẳng hàng Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C, D là hai điểm di động trên đường tròn. Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F ( F nằm giữa B và E). Chứng minh rằng DABF ~DBDF Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được c) Khi C, D di động trên nửa đường tròn. Chứng minh AC.AE = AD.AF có giá trị không đổi. d) Cho . Hãy tính diện tích của tứ giác ACDB. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp Chứng minh: AE.AB = AF.AC d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được AC //FG. Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy. Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B.Các tiếp tuyến tại A của hai đường tròn (O’); (O) cắt đường tròn (O); (O’) lần lượt tại C và D. Trung trực của AC và trung trực của AD cắt nhau tại S. Tứ giác AOSO’ là tứ giác gì ? Vì sao? Chứng SB ^ AB. Lấy E đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn Bài 1: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh AB2 = AM.AN. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, I, C, O cùng nằm trên một đường tròn Gọi K là giao điểm của BC và AI. Chứng minh rằng: Bài 2: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua hai điểm B và C. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn). Gọi E là hình chiếu của O trên xy; AO cắt MN tại F. Chứng minh AM2 = AB . AC Chứng minh 5 điểm A, N, O, E, M cùng nằm trên một đường tròn Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng IN // AB d) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi. Bài 3: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AN không chứa M lấy điểm B sao cho . Đường thẳng BO cắt AN tại D, cắt đường thẳng AM tại C. Đường thẳng BM cắt AN tại K. Gọi I là trung điểm của AC. BI cắt AN tại E. Chứng minh: Năm điểm A, B, N, O, M cùng nằm trên một đường tròn. BD là phân giác của tam giác BKN. DN.AK = AN.DK Tam giác BEN cân Bài 4: Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên cạnh BC. Vẽ hình vuông AMPQ sao cho P và Q thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B. Chứng minh rằng: Ba điểm Q, C, D thẳng hàng Năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn điểm P chạy trên một đoạn thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh BC Bài 5: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B và C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) với đường tròn . Gọi E là hình chiếu của O trên MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn. Chứng minh rằng năm điểm A, O, E, C, B cùng nằm trên một đường tròn Chứng minh Chứng minh BI//MN Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Dạng bài: Vị trí tương đối của hai đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Trên nửa mặt phẳng bờ OO’ có chứa B vẽ tiếp tuyến chung EF (Ẻ(O);F ẻ(O’)). Một cát tuyến qua A và song song với EF cắt (O) ở C và cắt (O’) ở D; CE giao DF ở I. Chứng minh: IA ^ CD Tứ giác IEBF nội tiếp AB đi qua trung điểm của EF. Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại K.Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AD (A ẻ (O1); D ẻ (O2)) rồi vẽ đường kính AB của đường tròn (O1). Qua B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (O2). Chứng minh Ba điểm B, K, D thẳng hàng AB2 = BK.BD AB = BM Một số bài tập bổ sung Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ hai đường kính AA’ và BB’ của đường tròn. Chứng minh tứ giác ABA’B’ là hình chữ nhật Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, Chứng minh BH = CA’ Cho OA = R, tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC. |
