Nếu công thức tính lũy thừa của một lũy thừa công thức tính lũy thừa của một tích một thương

Lũy thừa là gì? Khái niệm lũy thừa cũng như các dạng toán liên quan là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Đại số của các em học sinh trung học phổ thông. Cùng lize.vn tìm hiểu cụ thể về lũy thừa qua bài viết dưới đây nhé!

Khái niệm lũy thừa là gì? Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dươngSo sánh hai lũy thừa cùng cơ số, cùng số mũSử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa 

Khái niệm lũy thừa là gì? 

Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa là một phép toán thực hiện trên hai số a, b, ký hiệu là (a^{b}), đọc là lũy thừa bậc b của a, khi đó, a được gọi là cơ số, b được gọi là số mũ..

Đang xem: Công thức tính lũy thừa

Cho n là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a:

(a^{n}=overset{underbrace{atimes a…times a}}{n})

Với (aneq0)

Lũy thừa của số(aneq0) với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó:

(a^{-1}=frac{1}{a})

Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm (m=-n) là

(a^{m}=a^{-n}=frac{1}{a^{n}}).

Ví dụ:

(3^{-2}=frac{1}{3^{2}}=frac{1}{3.3}=frac{1}{9}).

Lũy thừa với số mũ 0 của số a

(1=frac{a^{n}}{a^{n}}=a^{n-n}=a^{0})

Lũy thừa của 0 và 1

(0^{m}=0).

(1^{m}=1).

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương

Cho a là số thực dương và số hữu tỉ(frac{m}{n}) , lũy thừa với số mũ hữu tỉ (frac{m}{n}) là số (a^{frac{m}{n}}) được định nghĩa là:

(a^{frac{m}{n}}=(a^{m})^{frac{1}{n}}=sqrt{a^{m}})

định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức có nghĩa.

Căn bậc n của một số thực dương

Phép khai căn hay một căn bậc n của số a là một số x sao cho (x^{n}=a)

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương, x không âm thì có đúng một số thực dương x sao cho (x^{n}=a)

x được gọi là căn số học bậc n của a, ký hiệu là (sqrt{n})

trong đó (sqrt{}) là ký hiệu căn.

Lũy thừa với số mũ thực

Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỉ, do đó lũy thừa với số mũ thực x có thể định nghĩa qua giới hạn:

(b^{x}=lim_{rto x}b^{r})

trong đó: r tiến tới x chỉ trong các giá trị hữu tỉ của r

Ví dụ:

(xapprox 1.732)

thì (5^{x}approx 5^{1,732}=5^{frac{433}{250}}=sqrt<250>{5^{433}}approx16,241)

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng sử dụng logarit thay cho giới hạn của các số hữu tỉ

(a^{x}=e^{x.lna})

với mọi số thực x và số thực dương a

Lũy thừa số mũ phức của số e

Căn cứ vào biểu diễn lượng giác của các số phức, lũy thừa số mũ phức của số e được định nghĩa như sau:

Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

(e^{ix}=cosx+i.sinx)

Sau đó với số phức (z=x+y.i), ta có

(e^{z}=e^{x+yi}=e^{x}+e^{yi}=e^{x}(cosy+i.siny))

Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương

Các tính chất quan trọng nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

Nhân 2 lũy thừa cùng cơ số: (a^{m}.a^{n}=a^{m+n})

Chia hai lũy thừa cùng cơ số

(frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}) ((aepsilon N*,mgeq n)).

Xem thêm: Handbook Of Data On Common Organic Compounds, Cl2(G) + 2 Kbr(Aq)

READ:  Bảo Vệ, Ẩn Công Thức Trong Google Sheet ? Ẩn Công Thức Trong Excel

Lũy thừa của lũy thừa

((a^{m})^{n}=a^{mn})

Nhân hai lũy thừa cùng số mũ

(a^{m}.b^{m}=(ab)^{m})

Chia 2 lũy thừa cùng số mũ

(frac{a^{m}}{b^{m}}=(frac{a}{b})^{m})

(sqrt{a^{n}}=a^{frac{n}{m}} mepsilon N, mgeq 2, aepsilon R)

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số, cùng số mũ

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (> 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn:

(m>nRightarrow a^{m}>a^{n} (a>1))

Nếu 2 lũy thừa có cùng cơ số (

(m>nRightarrow a^{m}

Ví dụ: So sánh (2^{5}) và (2^{9})

Ta thấy 2 số trên có cùng cơ số là 2, và(5

So sánh hai lũy thừa cùng số mũ

Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn:

(a>bRightarrow a^{n}>b^{n}(n>0))

Ví dụ: So sánh (4^{5})và (6^{5})

Ta thấy 2 số trên có cùng số mũ là 5 và(4

Ngoài ra, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân.

a0))

Ví dụ: So sánh (32^{10}) và (16^{15}), số nào lớn hơn.

Ta thấy các cơ số 32 và 16 khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa (32^{10}) và (16^{15}) về lũy thừa cùng cơ số 2.

(32^{10}=(2^{5})^{10}=2^{50})

(16^{15}=(2^{4})^{15}=2^{60})

Vì (2^{50}

Sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa 

Tuy sách giáo khoa không trình bày cách tính các căn và lũy thừa của một số nhưng trong thực tế đa số các học sinh đều sử dụng một trong các loại máy CASIO fx-500 hoặc fx-570 (MS hoặc ES/ ES Plus). Dưới đây là giới thiệu vắn tắt cách tính thông qua một số ví dụ để các bạn tiện sử dụng:

Tính căn của một số

Vào mode tính toán bằng cách ấn các phím MODE,1. Sau đó nhập số cần lấy căn kết thúc nhấn phím = ta được kết quả. Với căn bậc hai và căn bậc ba thì không cần nhập chỉ số căn, với các căn bậc bốn trở lên thì cần nhập chỉ số căn (các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx-570 MS nhập chỉ số căn ấn các phím SHIFT, x√x máy CASIO fx-570MS ấn các phím SHIFT, □√◻ nhập chỉ số ▹▹, sau đó nhập số cần lấy căn cuối cùng ấn phím = để được kết quả.

Ví dụ 1: Để tính(sqrt{23,42523,425}) (sau khi đã vào mode), ấn các phím (sqrt{}), 2, 3, ., 4, 2, 5, = . Màn hình hiện thị kết quả (4,839938016). Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy được kết quả là (4,8399).

Ví dụ 2: Tính(sqrt<7>{3203207})

Các máy CASIO fx- 500 MS và CASIO fx-570 MS, ấn liên tiếp các phím 7, SHIFT,(sqrt<>{}), 3, 2, 0, = màn hình hiện kết quả (2,279704562) Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy ta được kết quả (approx 2,2797).

Xem thêm: Công Thức Phép Nhân Nhanh Nhất Và Đơn Giản Trong 6 Bước, Lý Thuyết Tìm Một Thừa Số Của Phép Nhân Toán 2

– Với máy CASIO fx-570 ES, ấn liên tiếp các phím SHIFT, (sqrt<>{}), 7, ▹▹, 3, 2, 0,=. cũng sẽ nhận được kết quả như trên

Tính lũy thừa của một số

Vào mode tính toán, nhập cơ số, ấn phím số mũ, nhập số mũ, ấn phím = ta được kết quả. (Với các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx- 579 MS phím số mũ là phím wedgewedge; với máy CASIO fx-570 ES thì ấn phím số mũ là ấn phím xsquare).

Hy vọng với bài viết bên trên, bạn đã năm được định nghĩa, khái niệm lũy thừa là gì, tính chất của lũy thừa, đặc điểm lũy thừa mũ âm, lũy thừa của một tích, lũy thừa của lũy thừa… Nếu còn câu hỏi nào cũng như muốn đóng góp gì cho bài viết, bạn nhớ để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm lũy thừa là gì nhé!

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Công thức

Luỹ thừa của luỹ thừa là một dạng đặc biệt trong phần kiến thức luỹ thừa lớp 12. Có công thức phức tạp hơn, cách biến đổi cần nhiều bước và sáng tạo hơn luỹ thừa dạng cơ bản, tuy nhiên nếu nắm được phương pháp giải thì các bài toán dạng này không hề khó giải.

Đầu tiên, các em cùng VUIHOC nhận định mức độ khó của các bài toán luỹ thừa của luỹ thừa tại bảng sau đây:

Để dễ dàng hơn trong việc theo dõi bài viết cũng như ôn tập sau này, các em tải file tổng hợp lý thuyết luỹ thừa - luỹ thừa của luỹ thừa theo link dưới đây nhé!

Tải xuống file lý thuyết luỹ thừa của luỹ thừa đầy đủ và chi tiết

1. Ôn lại lý thuyết về luỹ thừa

1.1. Định nghĩa

Về định nghĩa luỹ thừa, các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có $n$ thừa số $a$ nhân với nhau. Lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần. 

Luỹ thừa ký hiệu là $a^b$, đọc là lũy thừa bậc $b$ của $a$ hay $a$ mũ $b$, số $a$ gọi là cơ số, số $b$ gọi là số mũ.

Ngoài ra, ta cần biết rằng, phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn.

1.2. Phân loại luỹ thừa

Như chương trình THPT đã được học về luỹ thừa nói chung và luỹ thừa của một luỹ thừa nói riêng, các em có thể biết được luỹ thừa được phân chia ra làm 3 dạng: luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực. Mỗi dạng sẽ có công thức tổng quát hoặc tính chất riêng biệt mà các em cần lưu ý phân biệt để không nhầm lẫn trong quá trình giải bài tập.

Dạng 1: Luỹ thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là một số nguyên dương. Với $a$ là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của n thừa số $a$. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức tổng quát như sau:

$a^n=a.a.a.a…..a$ ($n$ thừa số $a$)

Với $a^0$ thì $a^0=1, a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Lưu ý:

• $0^n$ và $0^{-n}$ không có nghĩa

• Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Dạng 2: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=m^n$, trong đó $m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}, n\geq 2$

Luỹ thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Đặc biệt: Khi $m=1: a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

 

Dạng 3: Luỹ thừa với số mũ thực

Cho $a>0,a\in \mathbb{R}$, là một số vô tỉ, khi đó $a^\alpha =\lim_{n\rightarrow +\infty }a(r^n)$ với $r^n$ là dãy số hữu tỉ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }r^n=\alpha $

Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:

1.3. Tính chất và công thức luỹ thừa cơ bản

Các tính chất của luỹ thừa góp phần không nhỏ trong việc hình thành cách so sánh luỹ thừa trong các bài tập cụ thể. Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa áp dụng để biến đổi và so sánh luỹ thừa sau:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

Tính chất về bất đẳng thức: 

• So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
  • Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$
  • Với $0a^n\Rightarrow m
• So sánh cùng số mũ:
  • Với số mũ dương $n>0: a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$
  • Với số mũ âm $n<0: a>b>0\Rightarrow a^n

Dưới đây là bảng công thức luỹ thừa cơ bản giúp các em biến đổi các phép tính luỹ thừa của luỹ thừa:

Ngoài ra còn có một số công thức khác trong các trường hợp đặc biệt, cụ thể như sau:

Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được định nghĩa qua giới hạn sau:

Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi $e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n$ ở đây $x$ được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa $e^{x+y}=e^x.e^y$ 

Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm $e$ mũ với $x$ là số nguyên dương k chính là $e^k$ như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng $e^{x+y}$ thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

• Hàm luỹ thừa với số mũ thực:

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên $ln(x)$ là hàm ngược của hàm $e^x$. Theo đó $lnx$ là số $b$ sao cho $x=e^b$

Nếu $a$ là số thực dương, $x$ là số thực bất kỳ ta có $a=elna$ nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

$a^x=(e^{lna})^x=e^{x.lna}$

Điều này dẫn tới định nghĩa $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực $x$ và số thực dương $a$

2. Luỹ thừa của luỹ thừa

2.1. Luỹ thừa của một luỹ thừa là gì?

Để hiểu được luỹ thừa của luỹ thừa là gì,đơn giản nhất ta có thể suy ra từ định nghĩa của luỹ thừa như sau: 

Luỹ thừa của luỹ thừa là biểu thức luỹ thừa trong đó phần cơ số là một biểu thức luỹ thừa khác. Luỹ thừa của luỹ thừa có ký hiệu là $(a^n)^m$

2.2. Công thức luỹ thừa của luỹ thừa

Theo định nghĩa trên, công thức luỹ thừa của luỹ thừa có dạng như sau:

$(a^m)^n=a^{m.n}$

2.3. Ứng dụng công thức luỹ thừa của luỹ thừa trong các bài toán luỹ thừa

VD1:

Lời giải

Chọn A

Ta có 

VD2.

Lời giải

3. Bài tập luỹ thừa của luỹ thừa áp dụng

Để thành thạo các bài tập luỹ thừa của luỹ thừa, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu tổng hợp các dạng bài áp dụng công thức biến đổi luỹ thừa của một luỹ thừa thường gặp nhất. Các em tải theo link dưới đây nhé!

Tải xuống file bài tập luỹ thừa của luỹ thừa có giải chi tiết

Trên đây là toàn bộ kiến thức cần ghi nhớ về luỹ thừa của luỹ thừa. Chúc các em luôn học tốt nhé!

Toán 12 | Ôn thi THPTQG môn Toán

180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.

1.500.000₫

Chỉ còn 900.000 ₫

Chỉ còn 2 ngày