Phương trình ax+b=0 có nghiệm là

Nếu a=0 , b khác 0thì phươg trình vô nghiệm

Nếu a=0, b=0 thì phương trình luôn đúng

Nếu a khác 0 thì ax=-b

x=-ba

Phương trình có nghiệm duy nhất

Giải và biện luận phương trình bậc nhất $ax+b=0$ là một dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện khả năng lập luận, tư duy logic.

Xem thêm Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

1. Giải và biện luận phương trình ax+b=0

Để giải và biện luận phương trình $ax+b=0$, ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1. Nếu $ a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất $$ x=-\frac{b}{a}.$$
• Trường hợp 2. Nếu $ a = 0$ thì phương trình đã cho trở thành $ 0x+b=0$, lúc này:
  • Nếu $ b=0$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R};$
  • Nếu $ b\ne 0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Bảng tóm tắt cách giải và biện luận phương trình $ax+b=0$

Chú ý khi giải và biện luận phương trình bậc nhất:

• Biến đổi để đưa phương trình đã cho về đúng dạng $ax+b=0$ trước khi xét các trường hợp.
• Nếu phương trình đã cho có điều kiện thì cần kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện hay không rồi mới kết luận.

2. Ví dụ giải và biện luận phương trình ax+b=0

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $ mx+2-m=0$.

Chúng ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1. Nếu $ m=0$, phương trình đã cho trở thành $$ 0x+2=0 $$ Rõ ràng phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
• Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m}.$

Vậy, $ m=0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $ (m-2)x+2-m=0$.

Chúng ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1. $ m-2=0$ hay $ m=2$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+0=0 $$ Rõ ràng phương trình này có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho cũng có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.
• Trường hợp 2. $ m\ne 2$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m-2}=-1.$

Vậy, $ m=2$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$; $ m\ne 2$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-1$.

Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình $ mx+(2-3m)x+5=0$.

Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $ ax+b=0$. Có, phương trình đã cho tương đương với $$ (2-2m)x+5=0 $$ Chúng ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1. $ 2-2m=0$ hay $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+5=0 $$ Phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
• Trường hợp 2. $ m\ne 1$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{-5}{2-2m}.$

Vậy, $ m=1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{-5}{2-2m}$.

Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình $ \frac{5x-m}{x-1}=0$.

Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình, sau đó biến đổi đưa phương trình về dạng quen thuộc $ ax+b=0.$

• Điều kiện xác định: $ x\ne 1$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$ 5x-m=0 $$
• Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{m}{5}$. Tuy nhiên đây chưa phải nghiệm của phương trình đã cho vì cần có điều kiện $ x\ne 1$. Do đó chúng ta xét hai trường hợp:
  • Trường hợp 1. Nếu $ \frac{m}{5}=1$ hay $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
  • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$

Tóm lại, $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$

Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{mx+2m}{x-3}=0 $$

Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{(m+1)x+2m}{x^2-4}=0 $$

Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{x+2-m}{\sqrt{x-4}}=0 $$

Ví dụ 8. Tìm $m$ để phương trình $ (x-1)(x-3m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 9. Tìm $m$ để phương trình $ \sqrt{x-3}(x+5-m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 10. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.

Ví dụ 11. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ vô nghiệm.

Ví dụ 12. Tìm $m$ để phương trình $ \frac{(3-m)x+3}{x-5}=0$ vô nghiệm.

3. Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhất

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số $m$:

1. $mx = 3$
2. $( m -2) x = m -2$
3. $(2 m -1) x = 5m +3$
4. $( m ^2-1) x =2 m +2$
5. $m ( x -2)=x +1$
6. $( m -1) x =2 x + m -3$
7. $( m +1)( x -2)=3 m -1$
8. $( m -1)( x +1)= m ^{2}-1$
9. $( m -3) x = m ( m -1)-6$
10. $(2 m -3) x = m (2 m -5)+3$

Phương trình ax + b = 0 có nghiệm nếu nó có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm.

- Phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất nếu a ≠ 0.

- Phương trình ax + b = 0 vô số nghiệm nếu a = b = 0.

Vậy phương trình ax + b = 0 có nghiệm nếu a=b=0a±0

Đáp án cần chọn là: C

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

28/08/2021 1,023

C. a=b=0a≠0

Đáp án chính xác

Đáp án cần chọn là: C (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Phương trình ax + b = 0 có nghiệm nếu nó có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm. - Phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất nếu a ≠ 0. - Phương trình ax + b = 0 vô số nghiệm nếu a = b = 0. Vậy phương trình ax + b = 0 có nghiệm nếu  a=b=0a±0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Tổng các nghiệm của phương trình |x2 + 5x + 4| = x + 4 bằng:

Xem đáp án » 28/08/2021 3,970

Tập nghiệm của phương trình 2x+3x−1=3xx−1 là:

Xem đáp án » 28/08/2021 3,319

Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

Xem đáp án » 28/08/2021 2,899

Phương trình x−mx+1=x−2x−1 có nghiệm duy nhất khi:

Xem đáp án » 30/08/2021 2,401

Tập nghiệm của phương trình x2−4x−2x−2=x−2 là

Xem đáp án » 31/08/2021 2,396

Cho phương trình (m2 − 3m + 2)x + m2 + 4m + 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Xem đáp án » 28/08/2021 2,121

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = −x2 − 2x + 3 và y = x2 − m có điểm chung.

Xem đáp án » 28/08/2021 1,896

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

 3x2 − 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại.

Xem đáp án » 28/08/2021 1,782

Tập nghiệm của phương trình x−12x−3=−3x+1x+1   (1) là:

Xem đáp án » 31/08/2021 1,596

Cho phương trình (x − 1)(x2 − 4mx − 4) = 0 .Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi:

Xem đáp án » 28/08/2021 1,594

Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a ≠ 0). Đặt:

 Δ = b2 − 4ac,S=−ba,P=ca . Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

Xem đáp án » 30/08/2021 1,365

Nếu a, b, c, d là các số thực khác 0, biết c và d là nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0 và a, b là nghiệm của phương trình x2 + cx + d = 0 thì a + b + c + d bằng:

Xem đáp án » 28/08/2021 1,352

Cho phương trình x4 + x2 + m = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng:

Xem đáp án » 30/08/2021 1,305

Cho phương trình  m−1x2+3x−1=0. Phương trình có nghiệm khi:

Xem đáp án » 28/08/2021 1,011

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng −2019;2019 để phương trình:2x2+2x2−4m−3x2+2x+1−2m=0 có đúng 1 nghiệm thuộc −3;0 

Xem đáp án » 30/08/2021 1,007