Phương trình hàm Nguyễn Văn Mậu PDF

Phương Trình Hàm Nguyễn Văn Mậu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [7.23 MB, 150 trang ]

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

Nguyễn Văn MậuPHƯƠNG TRÌNH HÀMNXBGD 1997Mục lục1 Một số tính chất cơ bản của hàm số1.1Hàm số chẵn hàm số lẻ3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.2Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . .51.3Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . .81.3.1Hàm tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.3.2Hàm phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . .91.4Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính1.5Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp. . . . . 10. . . . . . . . . . . . . . . 132 Phương trình hàm với cặp biến tự do162.1Hàm số chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2Hàm số chuyển đổi các đại lương trung bình . . . . . . . . . . . . . . 282.3Hàm số sinh bởi các đặc trưng hàm của các hàm số luợng giác, Hyperbolic và lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4Một số dạng khác của phương trình hàm với cặp biến tự do . . . . . 602.5Phương trình với nhiều ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 Phương trình hàm với phép biến đổi đối số753.1Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng . . . . 753.2Hàm số xác định bởi các phép biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . . 903.3Hàm số xác định bởi các phép biến đổi đại số . . . . . . . . . . . . . 1033.4Phương trình trong lớp các hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . 1162Chương 1Một số tính chất cơ bản của hàmsố1.1Hàm số chẵn hàm số lẻXét hàm số f [x] với tập xác định D[f ] ⊂ R và tập giá trị R[f ] ⊂ Ra] f [x] được gọi là hàm số chẵn trên M, M ∈ D[f ] [gọi tắt làĐịnh nghĩa 1.hàm chẵn trên M ] nếu∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f [−x] = f [x], ∀x ∈ Mb] f [x] được gọi là hàm số lẻ trên M [gọi tắt là hàm lẻ trên M ] nếu∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f [−x] = −f [x], ∀x ∈ MBài toán 1. Cho x0 ∈ R. Xác định tất cả các hàm số f [x] sao chof [x0 − x] = f [x],Giải. Đặt x =x02− t suy ra t =x02∀x ∈ R[1.1]− x. Khi đóx0 − x =x0+t2và [1.1] có dạngfx0x0+t =f− t , ∀t ∈ R223[1.2]4Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm sốĐặt g[t] = fx02+ t thìx0x2− t , f [t] = g t −22g[−t] = fKhi đó [2] có dạng g[−t] = g[t], ∀t ∈ R. Vậy g[t] là hàm chẵn trên R.Kết luận.f [x] = g x −x0,2trong đó g[x] là hàm chẵn tuỳ ý trên R.Bài toán 2. Cho a, b ∈ R. Xác định tất cả các hàm số f [x] sao chof [a − x] + f [x] = b,Giải. Đặt∀x ∈ R[1.3]a− x = t, khi đó2aa− t; và a − x = + t22x=Khi đó [3] có dạngfaa+ t +f−t =b22Đặtfab+t= g[t]22Khi đó có thể viết [4] dưới dạngg[−t] + g[t] = 0,∀t ∈ Rhay làg[−t] = −g[t],∀t ∈ RVậy g[t] là hàm số lẻ trên R.Kết luận.f [x] = g x −trong đó g[x] là hàm lẻ tuỳ ý trên R.ab+22[1.4]1.2. Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn5Bài tập1. Cho f [x] là một hàm số đồng thời vừa chẵn vừa lẻ trên R. Chứng minh rằngf [x] ≡ 0.2. Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết được dướidạng hiệu của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ, xác định trên R3. Cho hàm số f [x] xác định trên R. Xác định hàm số g[x] biết rằng đồ thị củahàm số này đối xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua đường thẳng x = x0cho trước.4. Cho hàm số f [x] xác định trên R. Xác định hàm số g[x] biết rằng đồ thịcủa hàm số này đối xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua điểm M [x0 , y0 ]cho trước.5. Biết rằng đồ thị của đa thức P [x] có tâm đối xứng. Chứng minh rằng đồ thịcủa đa thức P [x] có trục đối xứng.6. Biết rằng đồ thị của đa thức có trục đối xứng. Chứng minh rằng đồ thị củađa thức P [x] có tâm đối xứng.7. Cho đồ thị của hàm số bậc ba f [x] = x3 + ax2 + bx + c. Một đường thẳng cắtđồ thị tại ba điểm A[x1 , y1 ], B[x2 , y2 ], C[x3 , y3 ] sao cho |AB| = |BC|. Chứngminh rằngf [x2 − x] + f [x2 + x] = 2y2 , ∀x ∈ R1.2Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoànĐịnh nghĩa 2.a] Hàm số f [x] được gọi là hàm tuần hoàn [cộng tính] chu kỳa, [a > 0] trên M nếu M ⊂ D[f ] và∀x ∈ M ⇒ x± ∈ Mf [x + a] = f [x], ∀x ∈ Mb] Cho f [x] là một hàm tuần hoàn trên M . Khi đó T [T > 0] được gọi là chu kỳcơ cở của f [x] nếu f [x] tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm tuần hoàn6Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm sốvới bất cứ chu kỳ nào bé hơn T .Bài toán 3. Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f [x] ≡ hằng số, tuần hoàn trênR nhưng không có chu kỳ cơ sở.Giải. Xét hàm Dirichlef [x] =0, khi x ∈ Q1, khi x ∈/QKhi đó f [x] là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a ∈ Q∗ tuỳ ý. Vì trong Q∗ không cósố nhỏ nhất nên hàm f [x] không có chu kỳ cơ sở.Bài toán 4. Cho cặp hàm f [x], g[x] tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là aavà b với ∈ Q. Chứng minh rằng F [x] := f [x]g[x] cũng là những hàm tuần hoànbtrên M .am. Đặt T = na = mb, khiGiải. Theo giả thiết ∃m, n ∈ N+ , [m, n] = 1 sao chobnđóF [x + T ] = f [x + na] + g[x + mb] = f [x] + g[x] = F [x],G[x + T ] = f [x + na]g[x + mb] = f [x]g[x] = G[x],∀x ∈ M∀x ∈ MHơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M thì x ± M . Vậy F [x], G[x] là những hàm tuần hoàn trênM.Định nghĩa 3.a] Hàm số f [x] được gọi là phản tuần hoàn [cộng tính] chu kỳb, [b > 0] trên M nếu M ⊂ D[f ] và∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ Mf [x + b] = −f [x], ∀x ∈ M[1.5]b] Nếu f [x] là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b0 trên M mà không là hàm phảntuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn b0 trên M thì b0 được gọi là chu kỳ cơsở của hàm phản tuần hoàn f [x] trên M .Bài toán 5. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên M cũng là hàm tuầnhoàn trên M .1.2. Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn7Giải. Theo giả thiết, tồn tại b > 0 sao cho ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M vàf [x + b] = −f [x], ∀x ∈ MSuy ra với mọi x ∈ M thì x ± 2b ∈ M vàf [x + 2b] = f [x + b + b] = −f [x + b] = −[−f [x]] = f [x], ∀x ∈ MVậy f [x] là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M .Bài toán 6. Chứng minh rằng f [x] là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M khivà chỉ khi f [x] có dạngf [x] = g[x + b] − g[x][1.6]với g[x] là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên MGiải. Thật vậy, với f [x] thoả mãn [6] ta cóf [x + b] = g[x + 2b] − g[x + b]= g[x] − g[x + b]= −[g[x + b] − g[x]]= −f [x], ∀x ∈ MHơn nữa, ∀x ∈ M thì x± ∈ M . Do đó f [x] là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M .Ngược lại, với f [x] là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M chọn g[x] = − 21 f [x]thì g[x] là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M [Bài toán 3] và11g[x + b] − g[x] = − f [x + b] − − f [x]2211= − [−f [x]] + f [x]22= f [x], ∀x ∈ M8Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm sốBài tập1. Chứng minh rằng hàm số f [x] = tan x không là hàm phản tuần hoàn trênR { π2 + kπ, k ∈ Z}2. Chứng minh rằng 2π là chu kỳ cơ sở của hàm số f [x] = cos x.3. Cho f [x] là một hàm số phản tuần hoàn có chu kỳ cơ sở b trên R. Hỏi kếtluận sau đây có đúng không: f [x] là hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở 2b trênR?4. Chứng minh rằng sin x2 không phải là một hàm tuần hoàn trên R.5. Cho f [x], g[x] là các hàm số liên tục và tuần hoàn có chu kỳcơ sở a và b,tương ứng, trên R. Biết rằng F [x] := f [x] + g[x] cũng là một hàm tuần hoàntrên R. Chứng minh rằng1.31.3.1ab∈ Q.Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tínhHàm tuần hoàn nhân tínhĐịnh nghĩa 4. f [x] được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a [a ∈/ {0, 1, −1}]trên M nếu M ⊂ D[f ] và∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ Mf [ax] = f [x], ∀x ∈ MVí dụ 1. Xét f [x] = sin[2π log2 x]. Khi đó f [x] là hàm tuần hoàn nhân tính chukỳ 2 trên R+ .Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ thì 2±1 x ∈ R+ vàf [2x] = sin[2π log2 [2x]]= sin[2π[1 + log2 x]]= sin[2π log2 x]= f [x], ∀x ∈ R∗1.3. Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính9Bài toán 7. Cho f [x], g[x] là hai hàm số tuần hoàn nhân tính chu kỳ a và b, tươngứng trên M vàln |a|m= , m, n ∈ N+ln |b|nChứng minh rằng F [x] := f [x] + g[x] và G[x] := f [x]g[x] là những hàm tuầnhoàn nhân tính trên M .Giải. Từ giả thiết suy ra |a|n = |b|m . Ta chứng minh T := a2n = b2m là chu kỳ củaF [x] và G[x]. Thật vậy, ta cóF [T x] = f [a2n x] + g[b2m x] = f [x] + g[x] = F [x], ∀x ∈ MG[T x] = f [a2n x]g[b2m x] = f [x]g[x] = G[x], ∀x ∈ MHơn nữa, ∀x ∈ M thì T ±1 x ∈ M . Do đó F [x] và G[x] là những hàm tuần hoànnhân tính trên M .1.3.2Hàm phản tuần hoàn nhân tínhĐịnh nghĩa 5. f [x] được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a [a ∈/{0, 1, −1}] trên M nếu M ⊂ D[f ] và∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ Mf [ax] = −f [x], ∀x ∈ MBài toán 8. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M cũng làhàm tuần hoàn nhân tính trên M .Giải. Theo giả thiết, ∃b ∈/ {0, ±1} sao cho ∀x ∈ M thì b±1 ∈ M vàf [bx] = −f [x], ∀x ∈ MSuy ra ∀x ∈ M thì [b2 ]±1 x ∈ M vàf [b2 x] = f [bbx] = −f [bx] = −[−f [x]] = f [x], ∀x ∈ MNhư vậy, f [x] là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M .10Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm sốBài toán 9. Chứng minh rằng f [x] là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳb, [b ∈/ {0, ±1}] trên M khi và chỉ khi f [x] có dạng1f [x] = [g[bx] − g[x]]2[1.7]trong đó g[x] là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M .Giải. Thật vậy, nếu f [x] có dạng [7] thì1f [bx] = {g[b2 x] − g[bx]}21= {g[x] − g[bx]}21= {[g[bx] − g[x]]}2= −f [x], ∀x ∈ MHơn nữa, ∀x ∈ M thì b±1 x ∈ M . Do đó f [x] là hàm phản tuần hoàn nhân tính chukỳ b trên M .Ngược lại, giả sử f [x] là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M . Khiđó g[x] = −f [x] là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M [Bài toán 2] và11[g[bx] − g[x]] = [−f [bx] − [−f [x]]]221= [−[−f [x]] + f [x]]2= f [x], ∀x ∈ M1.4Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tínhvà nhân tínhBài toán 10. Cho a = 0, a = ±1. Xác định các hàm f [x] sao chof [ax] = f [x], ∀x ∈ R[1.8]Giải. Xét các trường hợp a > 0 và a < 0.[i] Với a > 0.Xét x > 0. Đặt x = at và f [at ] = h1 [t]. Khi đó t = loga x và [1] tương đương vớih1 [t + 1] = h1 [t], ∀t ∈ R1.4. Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính11Xét x < 0, đặt −x = at và f [−at ] = h2 [t]. Khi đó t = loga |x| và [1] tương đươngvớih2 [t + 1] = h2 [t], ∀t ∈ R[ii] Với a < 0.Khi đó f [a2 x] = f [x] và mọi nghiệm của [1] được cho bởi công thức1f [x] = {g[x] + g[ax]}2trong đóg[a2 x] = g[x], ∀x ∈ R[1.9]Thật vây, nếu f [x] có dạng [2] thì ta có1f [ax] = {g[ax] + g[a2 x]}21= {g[ax] + g[x]}2= f [x], ∀x ∈ RTiếp theo, áp dụng kết quả nhận được trong [2].Kết luận.Với a > 0khi x > 0,h1 [loga x]f [x] = c tuỳ ýkhi x = 0,h [log |x|] khi x < 0.2atrong đó h1 [t], h2 [t] là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ 1 trên R.1Với a < 0 : f [x] = {g[x] + g[ax]}, trong đó21hloga xkhi x > 0,32g[x] = d tuỳ ýkhi x = 0,h4 1 loga |x| khi x < 0.2trong đó h3 [t], h4 [t] là các hàm tuần hoàn công tín tuỳ ý chu kỳ 1 trên R.Bài toán 11. Cho a < 0, a = −1. Xác định các hàm số f [x] sao chof [ax] = −f [x], ∀x ∈ R[1.10]12Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm sốGiải. Từ [3] suy ra f [a2 x] = f [x] với mọi x ∈ R. Vậy mọi nghiệm của [3] có dạng1f [x] = {g[x] − g[ax]}2trong đóg[a2 x] = g[x], ∀x ∈ RThật vậy, nếu f [x] có dạng đó thì ta có1f [ax] = {g[ax] − g[a2 x]}21= {g[ax] − g[x]}2= −f [x], ∀x ∈ RNgược lại, với mỗi f [x] thoả mãn [10], chọn g[x] = f [x]. Khi đóg[a2 x] = g[x], ∀x ∈ Rvà11{g[x] − g[ax]} = {f [x] − f [ax]}221= {f [x] + f [x]}2= f [x], ∀x ∈ RTừ kết quả của Bài toán 1 suy ra nghiệm của [3] có dạng1f [x] = {g[x] − g[ax]}2trong đó1hloga xkhi x > 0,12g[x] = d tuỳ ýkhi x = 0,1h2loga |x| khi x < 0.2với h1 [t], h2 [t] là các hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ 1 trên R.Nhận xét. Nếu f [x] là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a > 0 trên R thìg[t] = f [ln t], t > 0 là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R∗ .Ngược lại, nếu f [x] là hàm tuần hoàn công tính chu kỳ a, 0 < a = 1 trên R∗ ,thì g[t] = f [et ] là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ ln a trên R.131.5. Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấpBài tập1. Cho a > 0, a = 1. Xác định tất cả các hàm f [x] sao chof [ax] = f [x] + 2f [−x], ∀x ∈ R2. Cho a > 0, a = 1. Xác định tất cả các hàm f [x] sao chof [ax] = f [x] + f [−x], ∀x ∈ R3. Cho a > 0, a = 1. Xác định tất cả các hàm f [x] sao chof [ax] = 1, ∀x ∈ R4. Cho hàm số g[x] xác định trên R. Xác định tất cả các hàm số f [x] thoảmãn điều kiệnf [x] + f [2x] = g[x] + g[2x]5. Cho hàm sốf [x] =021 + tan2 xkhi x = π/2 + kπ, k ∈ Z,khi x = π/2 + kπ, k ∈ ZChứng minh rằng hàm số g[x] = f [x] + f [ax] là hàm tuần hoàn cộng tínhtrên R khi và chỉ khi a ∈ Q.1.5Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấpĐể mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệmcủa các bài toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất hàm tiêu biểu của mộtsố dạng hàm số quen biết.1. Hàm bậc nhất: f [x] = ax + b, [a = 0, b = 0] có tính chấtfx+y1= {f [x] + f [y]}, ∀x, y ∈ R2214Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số2. Hàm tuyến tính: f [x] = ax, [a = 0] có tính chấtf [x + y] = f [x] + f [x], ∀x, y ∈ R3. Hàm mũ: f [x] = ax , a > 0, a = 1 có tính chất f [x + y] = f [x]f [y],∀x, y ∈ R.4. Hàm Logarit: f [x] = loga |x| [a > 0, a = 1] có tính chấtf [xy] = f [x] + f [y], ∀x, y ∈ R \ {0}5. Hàm luỹ thừa: f [x] = |x|a có tính chấtf [xy] = f [x] + f [y], ∀x, y ∈ R \ {0}6. Hàm lượng giác: Hàm f [x] = sin x có tính chấtf [3x] = 3f [x] − 4[f [x]]3 , ∀x ∈ RHàm f [x] = cos x có các tính chấtf [2x] = 2[f [x]]2 − 1, ∀x ∈ Rvàf [x + y] + f [x − y] = 2f [x]f [y], ∀x ∈ RCặp hàm f [x] = sin x, g[x] = cos x có tính chấtf [x + y] = f [x]g[x] + f [y]g[x], ∀x, y ∈ Rg[x + y] = g[x]g[y] − f [x]f [y], ∀x, y ∈ RHàm f [x] = tan x có tính chấtf [x + y] =f [x] + f [y]1 − f [x]f [y][2k + 1]π, [k ∈ Z].2Hàm f [x] = cot x có tính chấtvới x, y x + y =f [x + y] =với x, y x + y = kπ [k ∈ Z].f [x]f [y] − 1f [x] + f [y]151.5. Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp7. Hàm lượng giác ngược:a] Hàm f [x] = arcsin x có tính chất√f [x] + f [y] = f [x 1 − y 2 + y 1 − x2 ], ∀x, y ∈ [−1, 1]b] Hàm g[x] = arccos x có tính chấtg[x] + g[y] = g[xy −√1 − x21 − y 2 ], ∀x, y ∈ [−1, 1]c] Hàm h[x] = arctan x có tính chấth[x] + h[y] = hx+y, ∀x, y : xy = 11 − xyd] Hàm p[x] = arctan x có tính chấtp[x] + p[y] = pxy − 1, ∀x, y : x + y = 0x+y8. Các hàm hyperbolic1a] Hàm f [x] = sh x := [ex − e−x có tính chất2f [3x] = 3f [x] + 4f 3 [x], ∀x ∈ R1b] Hàm g[x] = ch x := [ex + e−x ] có tính chất2g[x + y] + g[x − y] = 2g[x]g[y], x, y ∈ Rc] Hàm h[x] = tanh x :=ex − e−xcó tính chấtex + e−xh[x + y] =h[x] + h[y], ∀x, y ∈ R1 + h[x]h[y]ex + e−xd] Hàm q[x] = coth x := xcó tính chấte − e−xq[x + y] =1 + q[x]q[y], x, y, x + y = 0q[x] + q[y]Chương 2Phương trình hàm với cặp biến tựdo2.1Hàm số chuyển đổi các phép tính số họcTrong § này, ta giải các bào toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tínhsố học đơn giản [cộng trừ, nhân, chia] của đối số sang phép tính đối với các giá trịhàm tương ứng.Ta sẽ giải quyết các bài tpán trên trong lớp các hàm xác định và liên tục trên toàntrục thực.Bài toán 12. [Phương trình hàm Cauchy]. Xác định tất cả các hàm số f [x] liêntục trên R thoả mãn điều kiệnf [x + y] = f [x] + f [y], ∀x ∈ R[2.1]Giải. Từ [1] suy ra f [0] = 0, f [−x] = −f [x] và với y = x thìf [2x] = 2f [x], ∀x ∈ RGiả sử với k nguyên dương, f [kx] = kf [x], x ∈ R. Khi đó16[2.2]172.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số họcf [[k + 1]x] = f [kx + x]= f [kx] + f [x]= kf [x] + f [x]= [k + 1]f [x], ∀x ∈ R, n ∈ NTừ đó, theo nguyên lí quy nạp, ta cóf [nx] = nf [x], ∀x ∈ RKết hợp với tính chất f [−x] = −f [x] ta đượcf [mx] = mf [x], ∀m ∈ Z, ∀x ∈ RTừ [2.2] ta cóf [x] = 2fxx= 22 f 222= · · · = 2n fx,2n[2.3]Từ đó suy rax2nf=1f [x], ∀x ∈ R, ∀n ∈ N2n[2.4]Kết hợp [3] và [4] ta đượcfm2n=mf [1], ∀m ∈ Z, ∀n ∈ N+2nSử dụng giả thiết liên tục của hàm f [x] suy raf [x] = ax, ∀x ∈ R, a = f [1]Thử lại, ta thấy hàm f [x] = ax thoả mãn phưương trình [2.1].Kết luận.f [x] = ax, với a ∈ R tuỳ ýNhận xét 1. 1] Từ điều kiện [2.1], ta thấy chỉ cần giả thiết f [x] là hàm liên tụctại một điểm x0 ∈ R cho trước là đủ. Khi đó, f [x] thoả mãn [2.1] sẽ liên tục trênR. Thật vậy, theo giả thiết thìlim f [x] = f [x0 ]x→x018Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự dovà với mỗi x1 ∈ R ta đều cóf [x] = f [x − x1 + x0 ] + f [x1 ] − f [x0 ], ∀x ∈ RTừ đó suy ralim f [x] = lim f [x − x1 + x0 ] + f [x1 ] − f [x0 ]x→x1x→x0= f [x0 ] + f [x1 ] − f [x0 ]= f [x1 ]2] Kết quả của Bài toán 1. sẽ không thay đổi nếu ta thay đổi nếu ta thay R bằng[α, +∞] hoặc [−∞, β] tuỳ ý.Bài toán 13. Xác định các hàm f [x] liên tục trên R thoả mãn điều kiệnf [x + y] = f [x]f [y], ∀x, y ∈ R[2.5]Giải. Nhận xét rằng f [x] ≡ 0 là một nghiệm của [2.5]. Xét trường hợp f [x] = 0.Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f [x0 ] = 0. Theo [2.5] thìf [x0 ] = f [x + [x0 − x]] = f [x]f [x0 − x] = 0, ∀x ∈ RSuy ra f [x] = 0, ∀x ∈ R vàf [x] = fx xx+= f2 222> 0, ∀x ∈ RĐặt ln f [x] = g[x] [f [x] = eg[x] ]. Khi đó g[x] liên tục trên R vàg[x + y] = ln f [x + y]= ln[f [x]f [y]]= ln f [x] + ln f [y]= g[x] + g[y], ∀x, y ∈ RTheo Bài toán 1. thì g[x] = bx, b ∈ R tuỳ ý. Vậy f [x] = ebx = ax với a > 0 tuỳ ý.Kết luận.f [x] ≡ 0 hoặc f [x] = ax [a > 0]192.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số họcBài toán 14. Xác định các hàm f [x] liên tục trên R thoả mãn điều kiệnf [x − y] = f [x] , x, y ∈ Rf [y]f [x] = 0, ∀x ∈ R[2.6]Giải. Đặt x − y = z thì x = z + y và [2.6] tương đương vớif [z] =f [z + y], ∀z, y ∈ Rf [y]Do đóf [z + y] = f [z]f [y], z, y ∈ Rf [x] = 0, ∀x ∈ RTừ kết quả của Bài toán 2. và do f [x] = 0 suy ra f [x] = ax với a > 0 tuỳ ý.Kết luận.f [x] = ax , trong đó a > 0 tuỳ ýBài toán 15. Xác định các hàm f [x] liên tục trên R \ {0} thoả mãn điều kiệnf [xy] = f [x]f [y], ∀x, y ∈ R \ {0}[2.7]Giải. Thay y = 1 vào [2.7] ta đượcf [x][1 − f [1]] = 0 ∀x ∈ R}Nếu f [1] = 1 thì từ [2.8] suy ra f [x] ≡ 0 và nghiệm này thoả mãn [2.7].Xét f [1] = 1. Khi đóf [1] = fx1x= f [x]f1x, ∀x ∈ R \ {0}Vậy f [x] = 0 với mọi x ∈ R \ {0} và do đóf [x2 ] = f [x]f [x] = [f [x]]2 > 0, ∀x ∈ R \ {0}a] Xét x, y ∈ R+ .[2.8]20Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự doĐặt x = eu , y = ev và f [et ] = g[et ]. Khi đó ta cóg[u + v] = g[u]g[v] ∀u, v ∈ R}[2.9]Theo Bài toán 2 thì [2.9] tương đương với g[t] = at ∀t ∈ R [a > 0 tuỳ ý] và do đóf [x] = f [eu ] = g[u] = au = aln x = [eln a ]ln x = xln a = xα ∀x ∈ R+[2.10]trong đó α = ln a.b] Khi x, y ∈ R− thì xy ∈ R+ . Với y = x, từ [2.7] và theo kết quả phần a], ta có[f [x]]2 = f [x2 ] = [x2 ]β = [|x|β ]2 , ∀ ∈ R− , β ∈ Rtuỳ ý. Do f [x] là hàm liên tục trên R− nênf [x] = |x|β , ∀x ∈ R+ ,hoặcf [x] = −|x|β , ∀x ∈ R− .Kết hợp a] và b] và thử lại các kết quả, ta cóKết luận.Nghiệm của [2.7] là một trong các hàm số sau1] f [x] ≡ 0, ∀x ∈ R \ {0},2] f [x] = |x|α , z; ∀x ∈ R \ {0} α ∈ R tuỳ ý3]f [x] =xβ , ∀x ∈ R+−|x|β , ∀x ∈ R− , β ∈ R tuỳ ýBài toán 16. Xác định các hàm f [x] liên tục trên R \ {0} thoả mãn điều kiệnf [xy] = f [x] + f [y], ∀x, y ∈ R \ {0}[2.11]212.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số họcGiải.a] Trước hết x, y ∈ R+ ,Đặt x − eu , y = ev và f [et ] = g[t]. Khi đó [2.11] có dạngg[u + v] = g[u] + g[v], ∀u, v ∈ R[2.12]Theo Bài toán 1 thì [2.12] tương đương với g[t] = bt và do đóf [x] = a ln x, ∀x ∈ R+ , a ∈ R tuỳ ýb] Khi x, y ∈ R− thì x, y ∈ R+ . Với y = x, từ [2.11] và theo kết quả phần a] tacó11f [x] = f [x2 ] = b ln[x2 ] = b ln |x|, ∀x ∈ R− , với b ∈ R tuỳ ý22Thử lại, ta thấy hàm f [x] = b ln |x| với b ∈ R tuỳ ý, thoả mãn các điều kiện của bàitoán đặt ra.Kết luậnf [x] = b ln |x|, ∀x ∈ R \ {0} với b ∈ R tuỳ ýBài toán 17. Xác định các hàm f [x] liên tục trên R thoả mãn các điều kiệnf [xy] = f [x] − f [y], ∀x, y ∈ RGiải. Từ [2.13] với x = y = 0, ta cóf [0] = f [0] − f [0] = 0và với mọi x ∈ R và y = 0 ta đượcf [0] = f [x] − f [0]hay f [x] ≡ 0. Ngược lại, hàm f [x] ≡ 0 thoả mãn [2.13].Kết luận.f [x] ≡ 0[2.13]22Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự doBài toán 18. Xác định các hàm f [x] liên tục trên R+ thoả mãn điều kiệnfGiải. Đặtx= f [x] − f [y], ∀x, y ∈ R+y[2.14]x= t. Khi đó x = ty và [2.14] tương đương vớiyf [t] = f [ty] − f [y]hayf [ty] = f [t] + f [y], ∀t, y ∈ R+Theo kết quả của Bài toán 5, thìf [x] = b ln x, ∀x ∈ R+ , b ∈ R tuỳ ýKết luận.f [x] = b ln x, ∀x ∈ R+ , b ∈ R tuỳ ýNhận xét. Lời giải của các Bài toán 1-7 dựa vào giả thiết liên tục các hàm sốcần tìm. Nếu ta thay giả thiết liên tục bằng giả thiết khả vi thì lớp hàm nhận đưựơcvẫn không thay đổi và phương pháp giả sẽ ngắn gọn hơn nhiều.Bài toán 19. Tìm các hàm số f [x] xác định và có đạo hàm trên R thoả mãn điềukiệnf [x + y] = f [x] + f [y], ∀x, y ∈ R[2.15]Giải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của [2.15] theo biến x và y ta đượcf [x + y] = f [x], ∀x, y ∈ R[2.16]f [x + y] = f [y], ∀x, y ∈ R[2.17]Các đẳng thức [2.16] và [2.17] cho ta f [x] = f [y] với mọi x, y ∈ R. Do vậy,f [x] ≡const hay f [x] = ax + b. Thế vào [2.15], ta được f [x] = ax với a ∈ R tuỳ ý[b = 0].Kết luận.f [x] = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R tuỳ ý2.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số học23Bài toán 20. Tìm các hàm số f [x] xác định và khả vi trên R thoả mãn điều kiệnf [x + y] = f [x]f [y], ∀x, y ∈ R[2.18]Giải. Nhận xét rằng f [x] ≡ 0 là một nghiệm của [2.18]. Xét trường hợp f [x] = 0.Khi đó tông tại x0 ∈ R để f [x0 ] = 0. Theo [2.18] thìf [x0 ] = f [x + [x0 − x]] = f [x]f [x0 − x] = 0, ∀x ∈ RSuy ra f [x] = 0, ∀x ∈ R.Mặt khác, từ [2.18] ta cóxf [x] = [f [ ]]2 ≥ 0, ∀x ∈ R2Vậy f [x] ≥ 0, ∀x ∈ R.Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của [2.18] theo biến x và y ta đượcf [x + y] = f [x]f [y], ∀x, y ∈ R[2.19]f [x + y] = f [x]f [y], ∀x, y ∈ R[2.20]Các đẳng thức [2.19] và [2.20] cho taf [x]f [y]=, ∀x, y ∈ Rf [x]f [y]hay[ln f [x]] ≡ a ⇔ f [x] = eax+bThế vào [2.18], ta được f [x] = eax , [b = 0].Kết luận.f [x] ≡ 0, hoặc f [x] = eax , ∀x ∈ RBài toán 21. Tìm các hàm f [x] xác định và khả vi trên R+ thoả mãn điều kiệnf [xy] = f [x] + f [y], ∀x, y ∈ R+[2.21]24Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự doGiải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của [2.21] theo biến x và y ta đượcyf [xy] = f [x], ∀x, y ∈ R+[2.22]xf [xy] = f [y], ∀x, y ∈ R+[2.23]Các đẳng thức [2.22] và [2.23] cho taxf [x] = yf [y]Do đóxf [x] ≡ c, ∀R+Thế nênf [x] = c ln x + dThế vào [2.21] ta cóf [x] = c ln x, ∀x > 0Kết luận.f [x] = c ln x, ∀x > 0, với c tuỳ ýNhận xét. Ngoài các giả thiết quen biết về tính liên tục và tính khả vi của hàmcần tìm, trong phương pháp trình hàm còn có rất nhiều giả thiết dạng khác nhưtìm nghiệm của các phương trình hàm trên một tập tuỳ ý của R và chỉ đòi hỏi hàmsố cần tìm giới nội [bị chặn], đơn điệu hoặc liên tục một phía trên các tập đó,. . .Bài toán 22. Tìm các hàm f [x] xác định và đồng biến trên R thoả mãn điệu kiệnf [x + y] = f [x] + f [y], ∀x, y ∈ R[2.24]Giải. Lần lượt thay y = 0 và y = x vào [2.24] ta được f [0] = 0 và f [2x] =2f [x], ∀x ∈ R. Từ đó suy ra f [x] > 0 khi x > 0 vàf [mx] = mf [x], ∀x ∈ R, m ∈ N+Trong [2.25] thay x bởi x/m, ta đượcfx1= f [x], ∀x ∈ R, ∀m ∈ N+mm[2.25]252.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số họcDo f [x] đồng biến trên R nênf [−1/n] < f [x] < f [1/n]hay là−11