Khái niệm số thập phân chắc hẳn không còn xa lạ với các bạn học sinh. Tuy nhiên, trong khái niệm số thập phân ẩn chứa các khái niệm khác liên quan. Số thập phân hữu hạn là gì? Số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì? Toppy sẽ cùng các bạn học sinh tìm hiểu ngay trong bài viết sau:
Khái niệm
Để hiểu rõ các khái niệm, chúng ta sẽ xét ví dụ sau:
Thực hiện tính các phân số 7/40 và 7/11:
Ta có:
0.175 chính là số thập phân hữu hạn.
Ta có:
0,6363… được gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn bởi phép chia này sẽ không bao giờ chấm dứt. Việc tiếp tục thực hiện phép chia, trong kết quả ta được số 63 lặp đi lặp lại.
Số 0,6363… được viết gọn là 0,[63]. 63 là chu kỳ.
Nhận xét
1. Ta có phân số tối giản trong đó:
- Mẫu số dương.
- Mẫu số không có ước nguyên tố khác 2 và 5
=> Phân số này là số thập phân hữu hạn.
2. Trường hợp, ta có phân số tối giản trong đó:
- Mẫu số dương.
- Mẫu số có ước nguyên tố khác 2 và 5
=> Phân số này là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ 1:
Ta có phân số 9/75 là số thập phân hữu hạn vì 9/75 = 3/25
Trong đó mẫu số là 25 không có ước nguyên tố khác 2 và 5.
9/75 = 0,12
Ví dụ 2:
Ta có phân số 5/22 là số thập phân vô hạn tuần hoàn vì mẫu số 22 = 2 x 11
Mẫu số này có ước nguyên tố là 3 khác 2 và 5.
5/22 = 0,2[27]
3. Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số hữu tỉ.
Ví dụ: 0.[63] = 0.[1].63 = 1/ 11.9 x 63 = 7/11
>>Xem ngay: Lý thuyết và Bài tập cộng trừ số hữu tỉ – Giỏi toán 7
Bài tập vận dụng
Bài 1: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số:
0,00[24]; 0,75; 1,28; 0.[122]; 1, 3[4]
Lời giải
0,00[24] = 1/100 x 0.[24] = 1/100 x 24/99 = 2/825
0,75 = 75/100 = 3/4
1,28 = 128/100 = 32/25
1, 3[4] = 1,3 + 0,0[4] = 1,3 + 1/10 x 0,[4] = 13/10 + 1/10 x 4/9 = 13/10 + 2/45 = 121/90
Bài 2: Tìm x biết:
0,[12] ; 1,[6] = x : 0,[3]
=> 12/99 : 15/9 = x : 3/9
=> 4/33 : 5/3 = x : 1/3
=> x = 4/33 x 3/5 x 1/3
=> x = 4/165
Bài 3: Chỉ ra số thập phân vô hạn tuần hoàn, số thập phân hữu hạn tuần hoàn trong các phân số sau:
5/8; -3/20; 4/11; 5/22; -7/12; 14/35
Lời giải:
Dạng tối giản của các phân số: 5/8, -3/20, 4/11, 5/22, -7/12, 2/5
Phân tích các mẫu thành thừa số nguyên tố:
8 = 2^3
22 = 2 . 11
20 = 2^2 x 5
11 = 1 . 11
12 = 2^2 x 3
5 = 5 . 1
Các mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 là 8, 20, 5 nên các phân số 5/8, -3/20, 2/5 là số thập phân hữu hạn.
Các mẫu số có ước nguyên tố khác 2 và 5 là 22, 11, 12 nên các phân số 4/11, 5/22, -7/12 là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Biểu diễn:
5/8 = 0.625
-3/20 = -0.15
14/35 = 2/5 = 0.4
4/11 = 0.[36]
15/22 = 0.6 [81]
-7/12 = -0.58[3]
Toppy hy vọng với bài viết trên đã cung cấp các thông tin hữu ích cho các bạn học sinh. Ghé qua blog của Toppy để cập nhật ngay các bí quyết học tập và kho tài liệu cực chất.
Bí quyết học tốt môn Toán 7
Môn Toán từng là nỗi sợ của nhiều bạn học sinh. Bởi đây là môn học đòi hỏi sự tính tóa, tư duy logic, suy luận cao. Đặc biệt là chương trình Toán 7, khối lượng kiến thức và nội dung học khá lớn. Các bạn học sinh học kiến thức mới liên tục. Làm thế nào để học tốt môn Toán? Toppy mách cho bạn một số bí quyết học tốt:
Hiểu bài trên lớp
Hiểu ngay bài trên lớp. Chúng ta sẽ phải học kiến thức mới vào ngày hôm sau. Vì vậy việc bài nào hiểu bài đấy ngay trên lớp là rất cần thiết. Chúng ta sẽ tiết kiệm được thời gian không phải học lại. Khi đã hiểu bài trên lớp, việc ôn tập lại tại nhà cũng sẽ dễ dàng hơn.
Một số bạn học sinh hiện nay khá ngại ngùng trong vấn đề trao đổi với thầy cô về các thắc mắc trên lớp. Đây à rào cản làm chậm tiến độ học tập của các bạn lại. Hãy mạnh dạn hỏi thầy cô ngay lúc vướng mắc nhé. Vấn đề các được giải quyết sớm, bạn sẽ càng hiểu vấn đề hơn. Ngoài ra, ban có thể hỏi bài các bạn trong lớp nếu không thể tự tin giao tiếp với thầy cô. Hỏi Toppy cũng là một giải pháp tuyệt vời mà bạn nên cân nhắc.
Rèn luyện qua bài tập
Rèn luyện qua bài tập. Lý thuyết sẽ chỉ thực sự trở thành của chúng ta khi ta có thể vận dụng trong làm bài. Để vận dụng thành thạo chỉ có thể thông qua luyện tập. Mỗi nội dung kiến thức Toán sẽ có các dạng bài tập tương ứng. Để không bị lúng túng, có thể giải quyết được muôn hình vạn trạng của các dạng Toán. Bạn cần nắm chắc kiến thức và thành thạo các bài tập đơn giản, cơ bản nhất. Sau đó, các bạn có thể nâng cao khả năng bằng các bài tập nâng cao.
Học tốt lớp 7
Sử dụng sơ đồ tư duy
Học bằng sơ đồ tư duy là phương pháp đực rất nhiều bạn học sinh sử dụng gần đây. Sơ đồ tư duy là phương pháp học tập khoa học với hiệu quả bất ngờ. Hệ thống lý thuyết và dạng bài tập trong mỗi bài trong một sơ đồ. Bạn sẽ có cái nhìn tổng quát từ đó học tập và ôn luyện dễ dàng, tốt hơn rất nhiều. Đây là phương pháp học khoa học đang được các chuyên gia giáo dục khuyến khích các bạn học sinh sử dụng. Bạn đã biết cách thiết kế sơ đồ tư duy? Toppy sẽ chỉ cho bạn các bước cơ bản:
- Bước 1: Xác định các từ khóa chính.
- Bước 2: Từ các từ khóa chính xác định các từ khóa phụ.
Lưu ý: Sơ đồ tư duy nên được thể hiện bằng nội dung ngắn gọn, bằng các từ khóa. Không nên chép toàn bộ chi tiết kiến thức vào sơ đồ. Sơ đồ tư duy dày đặc chữ không phát huy được toàn bộ hiệu quả.
Học nhóm cùng bạn bè
Cùng nhau lập nhóm học tập môn Toán là một idea rất đáng thử. Đây cũng là một giải pháp cho những bạn ngại giao tiếp, hỏi thầy cô. Thay vào đó, các bạn có thể cùng nhau ôn bài, giải bài tập, hỏi bạn bè những điều bạn chưa rõ. Thông qua hoạt động học nhóm, các bạn vừa nâng cao kiến thức vừa có thể gắn kết tình bạn. Thật tuyệt vời khi cùng nhau học tốt lên phải không nào? Bạn đã có nhóm học tập của mình chưa? Chần chừ gì mà không cùng các bạn của mình lập một nhóm học tập chinh phục tri thức ngay thôi nào.
Gia sư Toppy
Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán của Toppy. Toppy tự tin giúp bạn cải thiện tình hình học tập trong thời gian ngắn. Một lộ trình học tập riêng biệt dành riêng cho bạn trên cơ sở đánh giá quá trình, kết quả học tập. Hiện nay, Toppy cung cấp khóa học K12 môn Toán dành cho các bạn học sinh từ lớp 1 đến lớp 12. Bạn muốn học Toán ngay tại nhà? Bạn muốn có một lộ trình học tập riêng biệt? Bạn sẽ không gặp phải vấn đề ngại ngùng trong giao tiếp với thầy cô. Toppy là giải pháp triệt để giúp bạn học tốt môn Toán ngay tại nhà.
Xem thêm:
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Viết các phân số \[\dfrac{3}{20}\], \[\dfrac{37}{25}\], \[\dfrac{23}{40}\] dưới dạng số thập phân.
Ở lớp dưới, ta đã biết quy tắc chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên. Sau đây, ta sẽ áp dụng quy tắc đó để biến đổi một phân số về dạng số thập phân.
Ta có:
Như vậy, ta có thể viết các phân số trên dưới dạng số thập phân như sau:
\[\dfrac{3}{20}=0,15;\]
\[\dfrac{37}{25}=1,48;\]
\[\dfrac{23}{40}=0,575.\]
Các số \[0,15;1,48;0,575\] trong ví dụ trên được gọi là số thập phân hữu hạn.
Ví dụ 2: Viết số \[\dfrac{5}{12}\] dưới dạng số thập phân.
Ta thực hiện tương tự như trên với quy tắc chia hai số tự nhiên:
Dễ thấy, phép chia trên không bao giờ chấm dứt. Nếu tiếp tục thực hiện chia thì chữ số \[6\] trong thương sẽ lặp đi lặp lại.
Ta nói: khi chia \[5\] cho \[12\], ta được số \[0,4166...\]
Ta gọi số \[0,4166...\] là một số thập phân vô hạn tuần hoàn và có thể viết gọn là \[0,41\left[6\right].\]
Kí hiệu \[\left[6\right]\] chỉ rằng chữ số \[6\] được lặp lại vô hạn lần. Số \[6\] được gọi là chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn \[0,41\left[6\right]\].
Ví dụ:
+] \[\dfrac{1}{9}=0,1111...=0,\left[1\right]\]. Số \[0,\left[1\right]\] là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì \[1\].
+] \[\dfrac{1}{90}=0,0111...=0,0\left[1\right]\]. Số \[0,0\left[1\right]\] cũng là một số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì \[1\].
+] \[\dfrac{-17}{11}=-1,545454...=-1,\left[54\right]\]. Đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì \[54\].
Chú ý: Một cách trực quan, ta có thể thấy:
- Số thập phân hữu hạn có phần thập phân chỉ có số chữ số nhất định. Còn phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn có vô số chữ số và các chữ số đó lặp lại theo một quy luật nhất định, gọi là chu kì.
- Chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn có thể có một hoặc nhiều chữ số.
Nhận xét: Ta có thể viết một phân số dưới dạng số thập phân bằng cách thực hiện phép chia tử số cho mẫu số. Chẳng hạn:
+] \[\dfrac{1}{4}=0,25.\]
+] \[\dfrac{1}{3}=0,333...=0,\left[3\right].\]
+] \[\dfrac{-13}{15}=-0,8666...=-0,8\left[6\right].\]
+] \[\dfrac{-14}{33}=-0,424242...=-0,\left[42\right].\]
2. Nhận xét
Ở các ví dụ phía trên, ta thấy: Có những phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, cũng có những phân số lại viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Câu hỏi đặt ra là những phân số như thế nào sẽ được biểu diễn bởi từng trường hợp đó?
Người ta đã chứng minh được kết quả sau:
- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác \[2\] và \[5\] thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác \[2\] và \[5\] thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ:
+] Xét phân số \[\dfrac{-3}{40}\]. Ta có: \[40=2^3.5\], do đó nó chỉ có hai ước nguyên tố là \[2\] và \[5\]. Dựa vào nhận xét trên, ta có thể suy ra \[\dfrac{-3}{40}\] viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Thật vậy: \[\dfrac{-3}{40}=-0,075\].
+] Xét phân số \[\dfrac{10}{72}\]. Ta có: \[\dfrac{10}{72}=\dfrac{5}{36}\], \[36=2^2.3^2\], do đó nó có hai ước nguyên tố là \[2\] và \[3\]. Dựa vào nhận xét trên, ta có thể suy ra \[\dfrac{5}{36}\] viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Thật vậy: \[\dfrac{10}{72}=\dfrac{5}{36}=0,13888...=0,13\left[8\right]\].
Nhận xét: Để viết một phân số về dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, trước tiên ta cần đưa phân số về dạng tối giản, sau đó mới phân tích mẫu số thành tích các số nguyên tố.
Ví dụ: Trong các phân số \[\dfrac{3}{16}\], \[\dfrac{-67}{80}\], \[\dfrac{29}{60}\], \[\dfrac{-33}{56}\], phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
Lời giải:
+] Ta có: \[16=2^4\] nên nó chỉ có ước nguyên tố là \[2\]
\[\Rightarrow\dfrac{3}{16}\] viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
+] Ta có \[80=2^4.5\] nên nó có ước nguyên tố là \[2\] và \[5\]
\[\Rightarrow\dfrac{-67}{80}\] viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
+] Ta có \[60=2.3.5\], do đó nó có ước nguyên tố là \[2,3,5\]
\[\Rightarrow\dfrac{29}{60}\] viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
+] Ta có \[56=2^3.7\] nên nó có ước nguyên tố là \[2,7\]
\[\Rightarrow\dfrac{-33}{56}\] viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
@948513@
Chú ý: Dễ thấy, mỗi số thập phân hữu hạn là một số hữu tỉ. Người ta cũng chứng minh được rằng: Mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn cũng là một số hữu tỉ.
Chẳng hạn:
+] \[0,\left[7\right]=0,\left[1\right].7=\dfrac{1}{9}.7=\dfrac{7}{9};\]
+] \[0,\left[31\right]=0,\left[01\right].31=\dfrac{1}{90}.31=\dfrac{31}{90};\]
+] \[-1,4\left[2\right]=-\left[1,4+0,0\left[2\right]\right]=-\left[1,4+0,0\left[1\right].2\right]=-\left[\dfrac{7}{5}+\dfrac{1}{90}.2\right]=\dfrac{-64}{45}.\]
@948590@
Tổng quát, ta có kết luận sau:
Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.