VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Hệ phương trình đối xứng loại 2, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Hệ phương trình đối xứng loại 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2. Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng f[x, y] = 0, f[y, x] = 0. Nếu hệ phương trình có nghiệm là [a, b] thì nó cũng có nghiệm [b, a]. Dạng 1. Giải hệ phương trình đối xứng loại 2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2: f[x, y] − f[y, x] = 0 ⇔ [x − y]h[x, y] = 0 ⇔ x = y, h[x, y] = 0. Thường thì h[x, y] là những phương trình dễ dàng tìm ra mối liên hệ giữa x và y; hoặc h[x, y] là phương trình vô nghiệm. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình x2 − 2018x = 2017y, y2 − 2018y = 2017x. Lấy [1] trừ [2] vế theo vế ta được: y = x, y = −x + 1. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với x = y = 0, x = y = 4035. Kết luận, hệ phương trình có bốn nghiệm: [0; 0], [4035; 4035]. Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số thỏa điều kiện cho trước. Dựa vào tính chất nghiệm của hệ phương trình đối xứng để tìm tham số. Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất. Vì hệ phương trình đối xứng nên giả sử nghiệm của hệ là [x; y] thì [y; x] cũng là nghiệm của hệ, vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì x = y. Suy ra [1] trở thành x − 2x = m ⇔ −x = m ⇔ x = −m. Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì x = y = −m khác 0, suy ra m khác 0. Thử lại, với m khác 0, x khác 0, y khác 0 thì hệ phương trình tương đương. Lấy [1] trừ [2] ta được x2 − y, 2 = m[y − x] ⇔ [x − y][x + y + m] = 0. Giải [II]: Từ hệ [II] ta được phương trình 3×2 + 3mx + m2 = 0. Có ∆ = −3m2 < 0, ∀m khác 0. Nên hệ phương trình [II] vô nghiệm. Kết luận, hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m khác 0.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Giải hệ phương trình. Lấy [1] trừ [2] vế theo vế ta được [x − y] = 0 ⇔ y = x. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với y = x = 0. Bài 3. Giải hệ phương trình. Lấy [1] trừ [2] vế theo vế ta được [x − y][x2 + 2xy + y2 + 1] = 0. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với y = x. Kết luận, hệ phương trình có ba nghiệm. Bài 6. Cho hệ phương trình √x + 2 + 7 − y = m, y + 2 + √7 − x = m. a] Giải hệ phương trinh trên với m = 3. b] Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Lấy [1] trừ [2] vế theo vế. Với x = y = −2, hệ phương trình trở thành √9 = m. Với x = y = 7, hệ phương trình trở thành √9 = m. a] Với m = 3, hệ phương trình có hai nghiệm [x; y] bằng [−2; −2], [7; 7]. b] Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1. m = 3, hệ phương trình có hai nghiệm, loại. Trường hợp 2. m < 9 hệ phương trình vô nghiệm, loại. Trường hợp 3. m − 9 ≥ 0 ⇔ m ≥ 9 thì [4] ta được ∆ = 25 + [−m2 + 18m − 25] = −m2 + 18m. Để [4] có nghiệm duy nhất thì m = 0 [loại] hoặc m = 18. Với m = 18 phương trình [4] có nghiệm x = 5 [thỏa điều kiện]. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 18.
Trong chương trình Toán lớp 9, học sinh đã được học những kiến thức về hệ phương trình, bất phương trình. Tiếp tục lên lớp 10, học sinh được tiếp tục học về hệ phương trình đối xứng loại 1. Dưới đây là một số kiến thức các bạn cần ghi nhớ.
Hệ phương trình đối xứng loại 1 được định nghĩa là một hệ gồm hai phương trình. Trong đó, nếu thay đổi x cho y thì vẫn được hệ giống như ban đầu. Thông thường, hệ loại này rất dễ nhận ra. Trong một số trường hợp, các bạn cần biến đổi một chút để ra được dạng tổng quát.
Dấu hiệu nhận biết là trong hệ xuất hiện các tổng x+y và các tích xy. Khi gặp những hệ phương trình có chứa 2 biểu thức này, các bạn nên có hướng đến dạng hệ đối xứng loại 1.
Phương pháp giải chung
Nếu bạn đã nhận định được bài toán cho là hệ đối xứng loại 1 thì các bước sau đó sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Các bạn chỉ cần thực hiện theo phương pháp chung của chúng tôi dưới đây:
- Bước 1: Đưa từng phương trình trong hệ xuất hiện các tổng x+y và tích xy
- Bước 2: Đặt S = x+y; P =xy
- Bước 3: Thay lần lượt các tổng và tích bằng giá trị SP
- Bước 4: Giải hệ phương trình ẩn S, P
- Bước 5: Từ S, P tìm được ta có được hệ phương trình bậc nhất ẩn x, y
- Bước 6: Giải hệ phương trình bậc nhất ẩn x, y. Kết luận
Có thể bạn quan tâm: Hình elip - Lý thuyết và các dạng bài tập
Nhìn chung, để giải được hệ phương trình này thì k há dài. Các bạn thường hay quên khi tìm ra S, P mà chưa quy về hệ x, y. Các bạn cần hết sức cẩn thận trong quá trình tính toán và làm bài nhé!
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Sưu tầm: Trần Thị Nhung