VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2: Phương pháp giải. Trường hợp trong hai đường thẳng d1, d2 có đường thẳng song song với [P] thì không tồn tại đường thẳng d. Trường hợp d1 và d2 đều không nằm trên [P] và cắt [P]: Gọi giao điểm của d1, d2 với [P] lần lượt là A và B. Từ đó tìm được tọa độ A và B. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. Trường hợp có đường thẳng nằm trên [P], giả sử [P]: • Nếu d2C [P] thì Với mỗi điểm M nằm trên [P] ta sẽ lập được VÔ SỐ đường thẳng d qua M đồng thời cắt d1 và d2. • Nếu d2 ¢ [P], d2 cắt [P] thì ta tìm giao điểm M của d2 và [P]. Như vậy, cũng có vô số đường thẳng d qua M và cắt d1. Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho [P]: y + 2z = 0, d: x = 2 – t d2: g = 4 + 2t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Ta có m[P] = [0; 1; 2], vì d1 = [-1; 1; 4], vì d2 = [-1; 2; 0]. Vậy đường thẳng d có phương trình x = -7 + 3t. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho [P] : 2x – 3y + 32 – 4 = 0, d1 : k = 4 – 2t và d2: z = 4 + 3t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho [P]: 23 – g + 3 = 0, dt: y = 4 – 2t và d2: 12 = 4 + 3t x = 2 + ť g = 4 – t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Đường thẳng d có phương trình dạng d: g + t. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho [P]: 3x + 1 = 0, d1: y = 3 – 2t và d2: 4 = 2 + t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho [P]: 3x + y + z + 3 = 0, d1: y = 4 – 3t và d2: y = -2 + 2t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Kiểm tra được d1 cắt d2 và cùng nằm trên mặt phẳng [P]. Do đó, có vô số đường thẳng d nằm trên mặt phẳng [P] đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2. Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho [P]: 30 – Z + 2 = 0, d1: y = 4 – 5t và d2: Y = -2 + 2. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d và d2. Kiểm tra được d1 || [P] nên không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2: Phương pháp giải. Gọi M thuộc đường thẳng d1, N thuộc đường thẳng d2. Vì d || d’ nên MV cùng phương với tu. Từ đây tìm được tọa độ – M, N. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và có véc-tơ chỉ phương. Nếu d2 || d hoặc d2 || d hoặc một trong hai đường thẳng d1, d2 trùng với d thì không tồn tại đường thẳng d. Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng d: x = 2 + 3t x + 1 Y – 1 dı và d2. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Gọi M[-1 + t; 1 – t1; 1 + 2] + d1, N[2 + 3t; -1 + 2t2; -3 + t2] thuộc d2. Ta có MN = [3t] – t + 3; 2t + t – 2; C2 – 24 – 4]. Vì d || d’ nên MN cùng phương với a. Từ đó ta tìm được t = 2t và tính được M[-29, 20,-1], M = [18; -9; 18]. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng d: x = 2 + 3ť, d2: = -1 + 2+. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Giả sử M[1 – 3t1; -1 + t1; -3 – t2], N[2 + 3t2; -1 + 2t2; -3 + t]. Ta có MN = [3t2 + 3 + 1 + 1; 2t] ;t2 + tq]. Vì d || d’ nên MN cùng phương với a. Mà hệ này vô nghiệm nên không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chúng ta cũng dễ dàng kiểm tra d1 || d, d2 thuộc d1 = Ø nên có thể kết luận được rằng không tồn tại đường thẳng d. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng d: y = 2 + t, d2: 2 – 1t. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Gọi M[-3; -1 + t1; 2 + 2t], N[6 + 2t; –3 + 2t; 2 – t]. Vì d || d’ nên MV cùng phương với a. Từ đó ta có M [0; -1; 2], MN =[-6; 2; 0]. Vậy d: y = -1 + 2t. Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng d: = x – 2 y + 2 2-1. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng d: x + 1 y + 3 2 – 2 và d2: 9 – 1t. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Kiểm tra được d1 = d2, tại mỗi điểm tùy ý trên đường thẳng d có duy nhất một đường thẳng d song song với d’. Vậy đường thẳng d có phương trình là g = 10 + 2t.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng [P] song song với d’ và chứa d1
- Viết phương trinh mặt phẳng [Q] song song với d’ và chứa d2
- Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q]
Cách 2:
M = d ∩ d1; N = d ∩ d2
Vì d // d’ nên
Ví dụ: 1
Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d1, d2 và song song với d3 lần lượt là
- Mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với d3
Ta có vectơ pháp tuyến của [P] là
=>
Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của [P] là
Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc [P] là : [2; -2; 1]
Phương trình mặt phẳng [P] là: 1.[x – 2] – 1.[y + 2] + 1. [z – 1] = 0 hay x – y + z – 5 = 0
- Mặt phẳng [Q] chứa d2 và song song với d3
Ta có vectơ pháp tuyến của [Q] là
=>
Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của [Q] là
Một điểm thuộc d2 là điểm thuộc [Q] là : [7; 3; 9]
Phương trình mặt phẳng [Q] là: 0.[x – 7] + 1.[y – 3] + 2. [z – 9] = 0 hay y + 2z – 21 = 0
- Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q] nên
Điểm M [x; y; z] ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt z = t, ta có:
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ: 2
Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương là :
Trục Ox có vecto chi phương
- Mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với Ox
Ta có vectơ pháp tuyến của [P] là
=>
Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc [P] là : [0; 0; 1]
Phương trình mặt phẳng [P] là: 0.[x – 0] + 3.[y – 0] – 2 . [z – 1] = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0
- Mặt phẳng [Q] chứa d2 và song song với Ox
Ta có vectơ pháp tuyến của [Q] là
=>
Một điểm thuộc d2 là 1 điểm thuộc [Q] là : [2; -1; -1]
Phương trình mặt phẳng [Q] là: 0.[x – 2] + 2.[y + 1] – 3 . [z + 1] = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0
- Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q] nên
Điểm M [x; y; z] ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy phương trình tham số của d là:
Cách 2:
M = d ∩ d1 => M [t; 2t; 1+ 3t]
N = d ∩ d2 => N [2-t’; -1+3t’; -1+2t’]
Ox có 1 vectơ chỉ phương là
=>
=>
d//Ox nên
Vậy phương trình của d là:
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ: 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A .
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm
Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.
Do A thuộc d1 nên tọa độ A [- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a]
Do B thuộc d2 nên tọa độ B [ 1+ b; 2b; - 1+ 3b]
Vecto
+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
+ Do đường thẳng d//Δ nên haii vecto
=> có một số k thỏa mãn
=> Tọa độ A[ 2; 3; 3] và B[2; 2; 2]
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A[ 2; 3; 3] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của Δ là:
Chọn D.
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A[ a; 3- 2a; 1- a]
+ Điểm B thuộc d2 nên B[ 1- b;2+ 2b; - 2] .
=> Vecto
+ Đường thẳng MN nhận vecto
+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Hai vecto
⇔
=> Tọa độ của
Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn B
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Trục Ox: đi qua O [0; 0; 0]và nhận vecto
=> phương trình trục Ox:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Ox lần lượt là A và B.
+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A[ 1+ a; - 3+ 3a; - 2a]
+ Do B thuộc trục Ox nên tọa độ B[ b; 0; 0] .
=> Vecto
+ Trục Oz có vecto chỉ phương là:
Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Hai vecto
⇔
=> tọa độ A[ 2;0; - 2] và B[ 2; 0; 0 ]
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A[ 2; 0; -2] và có vecto chỉ phương là :
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn A.
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M[ 0; 1;1] .
+ Đường thẳng AB đi qua A [1; 0; -2] và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng AB:
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K
+ Do H thuộc d1 nên H [ - a; - 1+ 2a; 3+ a]
+ Do K thuộc AB nên K[ 1- b; b; - 2+ 3b]
Đường thẳng d nhận vecto
+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto
=> Hai vecto
=> Tọa độ
Chọn C.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. [ -1; 2; 0]
B. [0; -2; - 3]
C. [2; 3; 1]
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB: Đi qua A[ -1; 2; 1] và hận vecto
=> PHương trình đường thẳng AB:
+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .
+ Do M thuộc d1 nên M[ - 2; 1+ m; 2]
+ Do N thuộc AB nên N[ -1+ n; 2- n; 1]
=> Đường thẳng d nhận vecto
Lại có; d song song trục Oy nên một vecto chỉ phương của d là
=> 2 vecto
=> Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn đầu bài.
Chọn D
Ví dụ: 8
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P]: x+ 3y – 2z + 1= 0 và hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi
Do
⇔
Đường thẳng Δ đi qua N[ 0; -1; 1] và có vectơ chỉ phương
⇒Δ:
Chọn C.
Ví dụ: 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Điểm A thuộc d1 nên A[ 1+ 2a; - 1+ a;a]
Điểm B thuộc d2 nên B[ 1+ b; 2+ 2b; b]
=> Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến
Vì Δ// mp [P] nên
=>
Khi đó
Theo đề bài:
⇔ 2a2+ 27 = 29 ⇔ a2= 1
⇔
Vậy có hai đường thẳng Δ thỏa mãn là
Chọn A.
Câu 1:
Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết
A.
B.
C.
D.
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1; d2lần lượt là A và B
+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A[ 2a; -2+ a; -1]
+ Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ b; 0; b]
=> Đường thẳng d nhận vecto
+ đường thẳng d3 có vecto chỉ phương
=> Hai vecto
⇔
=> Tọa độ giao điểm của d và d2 là:
Chọn A.
Câu 2:
Cho 2 đường thẳng
A. N[0;0;-3]
B.
C.
D. Đáp án khác
Gọi M = d ∩ d1 => M [ - 2- m; 2m; - 2m]
Gọi N = d ∩ Oz => N [ 0; 0; n]
Vecto
Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là
Lại có đường thẳng d// d2 nên đường thẳng d nhận vecto u→ làm vecto chỉ phương
=> Vecto u→ cùng phương với
=>
=> là giao điểm của d và Oz
Chọn B.
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A .
B.
C.
D.
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm
Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.
Do A thuộc d1 nên tọa độ A [ -2a; 1+3a; 1+ 2a]
Do B thuộc d2 nên tọa độ B [ - 2b; 1+ b; - 1+ b]
Vecto
+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
+ Do đường thẳng d//Δ nên đường thẳng Δ nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương
=> hai vecto
=> Tọa độ A[ - 2; 4; 3] và B[ - 6; 4; 2]
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A[ - 2; 4; 3] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của Δ là:
Chọn D.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A[ 1; 2a; 1-a]
+ Điểm B thuộc d2 nên B[ - b; 2; -2+ b] .
=> Vecto
+ Đường thẳng MN nhận vecto
+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Hai vecto
=> Tọa độ của
Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn B
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
+ Trục Oy: đi qua O [0; 0; 0]và nhận vecto
=> phương trình trục Oy:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Oy lần lượt là A và B.
+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A[ 1+ a; -a; -2]
+ Do B thuộc trục Oy nên tọa độ B[0; b; 0] .
=> Vecto
+ Trục Oz có vecto chỉ phương là:
Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Hai vecto
=> tọa độ A[0; 1; - 2] và B[ 0; 1; 0 ]
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua B[ 0; 1; 0] và có vecto chỉ phương là :
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn A.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.[-2;1;0]
B. [ -2; 1; 2]
C. [-2; 1; -4]
D. Tất cả sai
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M[-2; 1; -2] .
+ Đường thẳng AB đi qua A [-2; 1; -3] và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng AB:
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K
+ Do H thuộc d1 nên H [ 1+ a; 2a; -1+ a ]
+ Do K thuộc AB nên K[ - 2; 1; - 3+ b]
Đường thẳng d nhận vecto
+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto
=> Hai vecto
=> Tọa độ K[ - 2; 1; - 4]
Chọn C.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
+ Đường thẳng AB: Đi qua A[0;1;2] và hận vecto
=> Phương trình đường thẳng AB:
+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .
+ Do M thuộc d1 nên M[ 1+ m; 1- m; - 1]
+ Do N thuộc AB nên N[ 2n; 1+ n; 2]
=> Đường thẳng d nhận vecto
+ Lại có; d song song trục Oz nên một vecto chỉ phương của d là
=> 2 vecto
=>
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua N[ 2/3; 4/3;2] và có vecto chỉ phương .
=> Phương trình d:
Chọn C.
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
+ Điểm A thuộc d1 nên A[ 1+ 2a; a; - 2- a]
Điểm B thuộc d2 nên B[ 1+b; -2+ 3b; 2- 2b]
+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
+ Mặt phẳng [ P] có vectơ pháp tuyến
+ Vì đường thẳng Δ// [ P] nên
=>
⇔ b- 2a + 3b – a- 2 – 2b + a+ 4= 0 ⇔ 2b – 2a + 2= 0 ⇔ 2b= 2a- 2 ⇔ b= a- 1
=>
Khi đó :
Dấu “=” xảy ra khi
Đường thẳng Δ đi qua điểm A và vec tơ chỉ phương
Vậy phương trình của Δ là:
Chọn B.
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D.
+Điểm M thuộc đường thẳng d nên M[ 2+ t; 1+ 2t;1- t]
+ Do A là trung điểm MN nên tọa độ N[ -t; - 5- 2t;1+ t] .
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A[1; -2; 1] và có vectơ chỉ phương
=> Có hai đường thẳng thỏa mãn đề bài là:
Chọn C.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp