Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left[ {1,0,0} \right],B\left[ {0,1,0} \right]$ và $C\left[ {0,0,1} \right]$ . Phương trình mặt phẳng $\left[ P \right]$ đi qua ba điểm $A,B,C$ là:
Trong hệ trục toạ độ không gian $Oxyz$, cho \[A\left[ {1,0,0} \right],\;B\left[ {0,b,0} \right],\;C\left[ {0,0,c} \right]\], biết $b,c > 0$, phương trình mặt phẳng $\left[ P \right]:y - z + 1 = 0$ . Tính $M = c + b$ biết \[[ABC] \bot [P]\], \[d\left[ {O,[ABC]} \right] = \dfrac{1}{3}\]
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left[ {1;1;2} \right].$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left[ P \right]$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$
Hay nhất
Mặt phẳng [Q] đi qua \[G[2{\rm ; 1 ; -1]}\] nên có phương trình dạng:\[A\left[x-2\right]+B\left[y-1\right]+C\left[z+1\right]=0, A^{2} +B^{2} +C^{2} >0.\]
Vì mặt phẳng\[ [Q]\bot[P]\] nên \[A+2B-C=0\Leftrightarrow A=-2B+C.\]
Vì góc giữa mặt phẳng [Q] và mặt phẳng [xOy] là \[45{}^\circ\] nên \[\frac{\left|C\right|}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2} } } =\frac{\sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow \frac{\left|C\right|}{\sqrt{[-2B+C]^{2} +B^{2} +C^{2} } } =\frac{\sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow 2\left|C\right|=\sqrt{2} \sqrt{5B^{2} +2C^{2} -4BC}\]
\[4C^{2} =10B^{2} +4C^{2} -8BC\Leftrightarrow 10B^{2} -8BC=0\Leftrightarrow 2B\left[5B-4C\right]=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {B=0} \\ {B=\frac{4C}{5} } \end{array}\right. .\]
Nếu \[B=0\Rightarrow A=C\] thì có phương trình : x+z-1=0.
Nếu \[B=\frac{4C}{5} \Rightarrow A=-\frac{3}{5} C\] thì có phương trình : \[-\frac{3}{5} C\left[x-2\right]+\frac{4}{5} C\left[y-1\right]+C\left[z+1\right]=0\Leftrightarrow -\frac{3}{5} \left[x-2\right]+\frac{4}{5} \left[y-1\right]+\left[z+1\right]=0\Leftrightarrow -3x+4y+5z+7=0.\]
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác: Phương pháp giải. Giải bài toán viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác thường phải sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn dưới đây: Giả sử [a]: A + B + C + D = 0 và [8]: A’c + B’g + Cc + D = 0 có các véctơ pháp tuyến tương ứng là ma = [A; B; C] và I = [A’; B’; B]. Khi đó, góc C giữa hai mặt phẳng [a] và [3]. Phương trình mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A[a; 0; 0], B[0; b; 0] và C[0; 0; c] [với abc + 0]. Ví dụ 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [a]: 2x – y + 3z – 5 = 0 và A[3; -2; 1]. Viết phương trình mặt phẳng [P] qua A và song song với [a]. [P] || [a] = [2; -1; 3] là véctơ pháp tuyến của [P]. Suy ra phương trình của [P] là 2[x – 3] – 1[y + 2] + 3[z – 1] = 1 # 2x – y + 3x – 11 = 0]. Ví dụ 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[3; 1; -1], B[2; -1; 4] và [a]: z – 2y + 3z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [8] qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng [a]. Vậy phương trình của [3]: 1[2 – 3] + 2[x – 1] + 1[x + 1]= 0 + 2 + 2y + x – 4 = 0. Ví dụ 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng [P] : 45c + y + 2z = 0 một góc bằng 60°. Véctơ pháp tuyến của [P] là mp = [V5; 1; 2], véctơ đơn vị của Ox là i = [1; 0; 0]. Giả sử ma = [a; b; c], a2 + b2 + 4c2 là véctơ pháp tuyến của [a]. Vậy phương trình của [a]: 3y + z = 0. Chọn b = 1, c = -3 = m = [0; 1; -3]. Suy ra phương trình của [a]: 4 – 32 = 0. Ví dụ 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho [P]: 50 – 2y + 5x – 1 = 0 và [Q] : 2 – 4 – 8x + 12 = 0. Lập phương trình mặt phẳng [a] đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng [P] và hợp với mặt phẳng [Q] một góc 45°. [P] có véctơ pháp tuyến là m = [5; -2; 5]. [Q] có véctơ pháp tuyến là mo = [1; -4; -8]. Gọi a = [a; b; c], a2 + b^ + c^2 là véctơ phép tuyến của [a]. [a] I [P] = 0 + 5a – 2b + 5c, x + 20y + 72 = 0. Ví dụ 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A[3; 0; 0], C[0; 0; 1] và cắt trục Ox tại điểm B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 5. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua điểm M[2; -1; 4] và Song song với mặt phẳng [P]: 3x – y + 2z = 0. [a] || [P] = P = [3; -1; 2] là véctơ pháp tuyến của [a]. [a] đi qua M[2; -1; 4]. Suy ra [a] : 3[x – 2] – 1[y + 1] + 2[2 – 4] = 0 + 3x – y + 2z – 15 = 0. Bài 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A[1; 1; -1], B[0; 2; 1] và vuông góc với mặt phẳng [8]: -x + x + 10 = 0. Ta có véctơ pháp tuyến của [8] là 8 = [-1; 0; 1] và AB = [4; 1; 2]. a = AB, n3 = [1; –6; 1]. [a] đi qua A[1; 1; -1] và nhận ra = [1; -6; 1] là véctơ pháp tuyến. Suy ra phương trình của [a]: 1[x – 1] – 6[y – 1] + 1[2 + 1] = 1 # x – 6y + z + 6 = 0. Bài 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng [a]: 20 – 3 – 1 = 0, [B]: 40 – 3x + z – 3 = 0 và tạo với mặt phẳng [Q]: 0 – 2x + 2z + 1 = 0. Suy ra [P]: 16[z – 0] + 5[x + 1]- 13[x – 1] = 0 + 16x + 5g – 13z +5 = 0. Bài 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M[-1; -1; 3], N[3; 1; 5] và mặt phẳng [Q]. Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M, N và tạo với [O] một góc nhỏ nhất. Vậy [P] : 0[ + 1] + 1[x + 1]- 1[z – 3] = 0.
Bài 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] biết nó đi qua điểm G[-1; 2; -3] và cắt các trục Ox, Oy, 02 lần lượt tại các điểm A, B,C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Do A, B,C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên A[a; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0; c]. Khi đó mặt phẳng [P]: C = 1 [*]. a b c Do G là trọng tâm tam giác ABC. Vậy phương trình [P]: x = 1.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song mặt phẳng cho trước, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song mặt phẳng cho trước: Phương pháp giải. Cho điểm M [3; 0; 1] và mặt phẳng [3]. Gọi [a] là mặt phẳng đi qua M và song song với [3]. Khi đó vectơ pháp tuyến của [a] là m = [A; B; C]. Ví dụ 17. Viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua điểm M[1; -2; 1] và song song với mặt phẳng [B]: 2x – y + 3 = 0. Ta có : [a] = [3] = [2; -1; 0]. Vậy phương trình mặt phẳng [a] là 2[x – 1] – 1 = 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 25. Viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua điểm M [-1; 1; 0] và song song với mặt phẳng [B]: x – 2y + 2 – 10 = 0. Vậy phương trình mặt phẳng [a] là 1 – 2[m – 1] = 0. Bài 26. Viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua điểm M [3; 6; -5] và song song với mặt phẳng [B]: -x + 2 – 1 = 0. Vậy phương trình mặt phẳng [a] là 1 [x + 5] = 0.
Bài 27. Viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua điểm M [2; -3; 5] và song song với mặt phẳng [B] : x + 2y – z + 5 = 0. Vậy phương trình mặt phẳng [a] là 2[x + 3] – 1 = 0. Bài 28. Viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua điểm M[1; 1; 1] và song song với mặt phẳng [8] : 10x – 10y + 2 – 4 = 0. Ta có n[a] = n[3] = [1; -1; 2]. Vậy phương trình mặt phẳng [a] là 1 [x – 1] = 0. Bài 29. Viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua điểm M [2; 1; 5] và song song với mặt phẳng [O]. Lời giải. Ta có T = [O] = [0; 0; 1]. Vậy phương trình mặt phẳng [a] là 0 [x – 2] + 0 [y – 1] + 1[x – 5] = 0.
Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hay viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là những dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THPT. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian, cùng tìm hiểu nhé!
Phương trình mặt phẳng trong không gian
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz
Phương trình tổng quát của mặt phẳng [P] trong không gian Oxyz có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với \[A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\]
Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:
- Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì:
Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}\]
Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}\]
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}\]
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \[AA’ + BB’ + CC’ = 0\]
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho điểm M[a, b, c] và mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0.
Khi đó khoảng cách từ điểm M tới [P] được xác định như sau:
\[d[A, [P]] = \frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\]
Tổng kết lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian
Các dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến
Vì mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\]
Mặt phẳng [P] có vector pháp tuyến \[\vec{n}[A, B, C]\]
Khi đó phương trình mặt phẳng [P]: \[A[x-x_{0}] + B[y-y_{0}] + C[z-z_{0}] = 0\]
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M [3;1;1] và có VTPT \[\vec{n} = [1; -1; 2]\]
Cách giải:
Thay tọa độ điểm M và VTPP \[\vec{n}\] ta có:
[P]: \[[1][x – 3] + [-1][y – 1] + 2[z – 1] = 0 \Leftrightarrow x – y + 2z – 4 = 0\]
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm không thẳng hàng
Vì mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng [P] có 1 cặp vector chỉ phương là \[\vec{AB} ; \vec{AC}\]
Khi đó ta gọi \[\vec{n}\] là một vector pháp tuyến của [P], thì \[\vec{n}\] sẽ bằng tích có hướng của hai vector \[\vec{AB}\] và \[\vec{AC}\]. Tức là \[\vec{n} = \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ]\]
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm không thẳng hàng A[1,1,3]; B[-1,2,3]; C[-1;1;2]
Cách giải:
Ta có: \[\vec{AB} = [-2;1;0]; \vec{AC} = [-2,0,-1] \Rightarrow \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = [-1,-2,2]\]
Suy ra mặt phẳng [P] có VTPT là \[\vec{n} = \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = [-1,-2,2]\] và đi qua điểm A[1,1,3] nên có phương trình:
\[[-1][x – 1] – 2[y – 1] + 2[z – 3] = 0\Leftrightarrow -x – 2y + 2z – 3 = 0\]
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác
Mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\] và song song với mặt phẳng [Q]: Ax + By + Cz + m =0
Vì M thuộc mp[P] nên thế tọa độ M và pt [P] ta tìm được M.
Khi đó mặt phẳng [P] sẽ có phương trình là:
\[A[x – x_{0}] + B[y – y_{0}] + C[z – z_{0}] = 0\]
Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [1;-2;3] và song song với mặt phẳng [Q]: 2x – 3y + z + 5 = 0
Cách giải:
Vì [P] song song với [Q] nên VTPT của [P] cùng phương với VTPT của [Q].
Suy ra [P] có dạng: 2x – 3y + z + m = 0
Mà [P] đi qua M nên thay tọa độ M [1;-2;3] ta có:
\[2.1 + [-3].[-2] + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = -11\]
Vậy phương trình [P]: 2x – 3y + z – 11 = 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước
Mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\] và đường thẳng d.
Lấy điểm A thuộc đường thẳng d ta tìm được vector \[\vec{MA}\] và VTCP \[\vec{u}\], từ đó tìm được VTPT \[2.1 \vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ]\].
Thay tọa độ ta tìm được phương trình mặt phẳng [P]
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [3;1;0] và đường thẳng d có phương trình: \[\frac{x – 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1}\]
Cách giải:
Lấy điểm A [3;-1;-1] thuộc đường thẳng d.
Suy ra \[\vec{MA} [0; -2; -1]\] và VTCP \[\vec{u} [-2; 1; 1]\]
Mặt phẳng [P] chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: \[\vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ] = [-1; 2; 4]\]
Vậy phương trình mặt phẳng [P]: \[-1[x – 3] + 2[y – 1] – 4z = 0\Leftrightarrow -x + 2y – 4z + 1 = 0\]
Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Nếu có băn khoăn thắc mắc hay góp ý về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz, các bạn để lại bình luận bên dưới để chúng mình cùng trao đổi nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ nha