2 đường thẳng đối xứng nhau qua 1 điểm là gì

Khi đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì điểm A đối xứng với điểm B qua đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai điểm A và B.

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên A đối xứng với B qua đường thẳng d

Trong không gian hai chiều hồng tâm có đối xứng trục.

Một mặt giải phóng có đối xứng trục trong không gian 3 chiều.

Nói cách khác, hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua một đường thẳng nếu đường thẳng đó là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Đối xứng này gọi là đối xứng trục.[1]

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua một đường thẳng nếu mỗi điểm của hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia, và ngược lại. Đây cũng gọi là đối xứng trục.

Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trụng trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Trục đối xứng của một số hình

1. Đường tròn, trục đối xứng là đường kính của đường tròn. Đường tròn có vô số trục đối xứng.
2. Tam giác cân, trục đối xứng là đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác của tam giác cân xuất phát từ đỉnh ứng với cạnh đáy. Tam giác cân có duy nhất 1 trục đối xứng.
3. Tam giác đều, trục đối xứng là đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác của tam giác đều. Tam giác đều có 3 trục đối xứng.
4. Hình thang cân, trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân. Hình thang cân có 1 trục đối xứng.
5. Hình thoi, trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi. Hình thoi có 2 trục đối xứng.
6. Hình vuông, trục đối xứng là hai đường chéo của hình vuông và hai đường thẳng đi qua trung điểm từng cặp cạnh đối diện của hình vuông. Hình vuông có 4 trục đối xứng.
7. Hình chữ nhật, trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua trung điểm từng cặp cạnh đối diện của hình chữ nhật. Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng.
8. Đa giác đều n cạnh thì có n trục đối xứng

Các đường thẳng là đối xứng của một đường thẳng qua ba cạnh của tam giác đồng quy khi và chỉ khi đường thẳng này đi qua trực tâm của tam giác. Trong trường hợp này điểm đồng quy nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.[2]

Định lý Bliss

 

Định lý Bliss

Cho ba đường thẳng song song đi qua ba trung điểm của ba cạnh của tam giác khi đó các đường thẳng đối xứng của ba cạnh tam giác đó qua ba đường thẳng này một cách lần lượt sẽ đồng quy tại đường tròn chín điểm của tam giác đó.[3]

Định lý Paul Yiu

Cho đường thẳng qua tâm nội tiếp của tam giác và cắt ba cạnh BC, CA, AB của tam giác lần lượt tại X, Y, Z. Lấy các điểm X', Y', Z' là đối xứng của X, Y, Z qua ba đường phân giác tương ứng. Khi đó ba điểm X', Y', y' thẳng hàng.[4]

A, B, C, D, E, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y

1. Hình học
2. Đường thẳng
3. Điểm
4. Tâm đối xứng
5. Định lý Đào [conic]

1. ^ Toán 8 - Tập 1, SGK nhà xuất bản Giáo dục trang 84.
2. ^ S.N. Collings, Reflections on a triangle, part 1, Math. Gazette, 57 [1973] 291 – 293; M.S. Longuet-Higgins, Reflections on a triangle, part 2, 293 – 296.
3. ^ This was first discovered in May, 1999 by a high school student, Adam Bliss, in Atlanta, Georgia. A proof can be found in F.M. van Lamoen, Morley related triangles on the nine-point circle, Amer. Math. Monthly, 107 [2000] 941 – 945. See also, B. Shawyer, Some remarkable concurrence, Forum Geom., 1 [2001] 69 – 74
4. ^ //www.journal-1.eu/2015/01/Paul-Yiu-Reflections-of-Intercepts-pp.27-31.pdf Paul Yiu, Collinearity of the reflections of the intercepts of a line in the angle bisectors of a triangle pp.27-31. Volume 0, International Journal of Computer Discovered Mathematics, ISSN 2367-7775

Bản mẫu:Thể loại Commons Reflection symmetry

Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Đối_xứng_trục&oldid=68140598”

Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Lý thuyết đối xứng tâm – Đối xứng tâm

1. Hai điểm đối xứng qua một điểm:

Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Hai điểm A và A’ gọi là hai điểm đối xứng với nhau qua điểm O.

2. Hai hình đối xứng qua một điểm:

Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại.

Quảng cáo

Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai  hình đó.

3. Hình có tâm đối xứng:

Định nghĩa: Điểm O gọi là tâm đối xứng qua hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm o cũng thuộc hình H.

Định lí: Giao điểm hai đường chéo cảu hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Với Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng trục.

1. Định nghĩa 

a] Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. 

Quy ước: Nếu B∈d  thì ta nói B đối xứng với B qua d. 

b] Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

2. Các tính chất thừa nhận 

Tính chất 1: Nếu các điểm A và A’, B và B’, C và C’ đối xứng với nhau qua đường thẳng d trong đó C nằm giữa A và B thì C’ nằm giữa A’ và B’.

Tính chất 2: Nếu hai đoạn thẳng [góc, tam giác] đối xứng nhau qua một trục thì chúng bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho  ΔABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng: 

a] D đối xứng với E qua AH.

b] ΔADC đối xứng với ΔABE qua AH. 

Giải

a] Vì ΔABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH là tia phân giác của góc A.

Lại có AD = AE do giả thiết nên ΔADE cân tại A. Suy ra AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.

b] Vì AH là đường cao của ΔABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC suy ra B đối xứng với C qua AH, E đối xứng với D qua AH, lại có A đối xứng với A qua AH theo quy ước. Vậy ΔADC đối xứng với ΔABE  qua AH.

Ví dụ 2. Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, điểm E đối xứng với H qua AC. Chứng minh rằng: 

a] Đoạn thẳng AD đối xứng với AH, đoạn thẳng BD đối xứng với BH qua trục AB. Đoạn thẳng AE đối xứng với AH, đoạn thẳng CE đối xứng với CH qua trục AC. 

b] ΔADB đối xứng với ΔΑΗΒ qua trục AB, ΔΑEC đối xứng νớι ΔAHC qua trục AC. 

Giải

a] Từ giả thiết điểm D đối xứng với H qua đường thẳng AB, điểm E đối xứng với H qua AC mà A, B đối xứng với chính nó qua AB nên AD đối xứng với AH qua AB, BD đối xứng với BH qua AB. 

Lại có A, C đối xứng với chính nó qua AC nên AE đối xứng với AH qua AC, CE đối xứng với CH qua AC.

b] Từ câu a], suy ra  ΔABD đối xứng với ΔABH qua trục AB và ΔAEC đối xứng với ΔAHC qua trục AC.

Ví dụ 3. Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua AH.

Giải

Từ giả thiết và định nghĩa ΔABC cân tại A, ta có AB = AC [1]; BD = CE [2]. 

Trừ theo vế đẳng thức [1] cho đẳng thức [2], ta được AD = AE nên ΔADE cân tại A. 

Vì ΔABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là tia phân giác của góc A. 

Do ΔADE cân tại A, AH là tia phân giác của góc A nên AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng.

A. Điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là A.                                 

B. Điểm đối xứng với K qua đường thẳng d là K.

C. Điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là K.

D. Điểm đối xứng với Q qua đường thẳng d là Q.

Hiển thị đáp án

Từ hình vẽ ta có đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AK nên điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là K.

Đáp án: C.

Câu 2. Cho hình vẽ. Hãy chọn câu sai.

A. Điểm đối xứng với P qua đường thẳng QG là P’.

B. Điểm đối xứng với B qua đường thẳng QG là B’.

C. Điểm đối xứng với D qua đường thẳng QG là G.

D. Điểm đối xứng với G qua đường thẳng QG là G.                    

Hiển thị đáp án

Từ hình vẽ ta có đường thẳng QG là đường trung trực của đoạn thẳng DD’, BB’, PP’ nên Điểm đối xứng với P qua đường thẳng QG là P’ nên A đúng.

Điểm đối xứng với B qua đường thẳng QG là B’ nên B đúng. 

Điểm đối xứng với D qua đường thẳng QG là D’ nên C sai.

Vì G∈QG nên điểm đối xứng với G qua QG là G nên D đúng.

Đáp án: C.

Câu 3. Hãy chọn câu sai.

A. Hai đoạn thẳng EB và E’B’ đối xứng nhau qua m.

B. Hai đoạn thẳng DB và D’B’ đối xứng nhau qua m.

C. Hai tam giác DEB và D’E’B’ đối xứng nhau qua m.

D. Hai đoạn thẳng DE và D’B’ đối xứng nhau qua m.

Hiển thị đáp án

Từ hình vẽ ta có E và E’ đối xứng nhau qua đường thẳng m, B và B’ đối xứng nhau qua đường thẳng m; D và D’ đối xứng nhau qua đường thẳng m. 

Suy ra hai đoạn thẳng EB và E’B’ đối xứng nhau qua m. 

Hai đoạn thẳng DB và D’B’ đối xứng nhau qua m. 

Hai tam giác DEB và D’E’B’ đối xứng nhau qua m. 

Hai đoạn thẳng DE và D’E’ đối xứng nhau qua m nên D sai.

Đáp án: D.

Câu 4. Cho hình vẽ, với AD = AE, AG là trung trực của DE. Có bao nhiêu cặp đoạn thẳng đối xứng nhau qua trục AG [các đoạn thẳng thuộc đường thẳng AD, AE]? Chọn câu đúng.

A. 1.

B. 2. 

C. 3. 

D. 4.

Hiển thị đáp án

Từ giả thiết ta thấy ΔADE cân tại A có AG là đường cao nên AG cũng là đường trung trực của DE.

Nên điểm D và E đối xứng với nhau qua AG.

Lại có BC//DE [cùng vuông với AG] nên suy ra  

Mà AD = AE[gt] ⇒ AB = AC. Do đó   cân tại A có AF là đường cao nên AF cũng là đường trung trực của BC. Từ đó điểm B, C đối xứng nhau qua AG.

Như vậy:

Hai đoạn thẳng BD, CE đối xứng nhau qua AG. 

Hai đoạn thẳng AB, AC đối xứng nhau qua AG. 

Hai đoạn thẳng AD, AE đối xứng nhau qua AG.

Đáp án: C.

Câu 5. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. M và N là hai điểm lưu động lần lượt trên cạnh AB và AD sao cho

. Vẽ tia Cx vuông góc với CN, Cx cắt đường thẳng AB tại E. Chọn kết luận đúng nhất.

A. E là điểm đối xứng của N qua CM.

B. Tam giác CEN là tam giác cân tại C.

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Hiển thị đáp án

Ta có

[gt] mà

nên

hay

 .

Mà  

[vì

] nên

 .

Xét tam giác CDN và tam giác CBE có: 

BC = DC [do ABCD là hình vuông]; 

Suy ra

 . Suy ra CN = CE.

Xét tam giác CEN có CN = CE [cmt] nên tam giác CEN là tam giác cân tại C. 

Suy ra phân giác CM đồng thời là đường trung trực của NE.

Vậy E là điểm đối xứng của N qua CM.

Đáp án: C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.