Bài 12 trang 56 sbt hình học 12 nâng cao

LG1

Chứng minh rằng các điểmI, J, A1, A2, H1cùng thuộc một mặt cầu. Chỉ rõ tâm của mặt cầu đó và tính diện tích mặt cầu theoa, \(\alpha \) và khoảng cáchhgiữa hai mặt phẳng (P), (Q)

Lời giải chi tiết:

Vì(P) đi qua \(I\) và \((P) \bot {d_2},{\rm{IJ}} \bot {d_2}\) nên \({\rm{IJ}} \subset (P).\)

VìH1là hình chiếu củaA1trên(P)nên \(\widehat {{A_1}I{H_1}} = \alpha \) và \({A_1}{H_1}//{d_2}\). Domp(Q)song song vớimp(P) và (Q) cắtd1, d2tạiA1, A2nên \({A_1}{A_2}//J{H_1}\).

Suy ra \(J{H_1}{A_1}{A_2}\) là hình chữ nhật.

Mặt khác \(\widehat {JI{A_1}} = {90^0}\) vậy các điểmI, J, A1, A2, H1cùng thuộc một mặt cầu, tâm mặt cầu là trung điểmOcủaJA1, bán kính của mặt cầu là \(R = {1 \over 2}J{A_1}.\)

Ta có \(J{A_1}^2 = {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} + IA_1^2 = {a^2} + {{{h^2}} \over {{{\sin }^2}\alpha }}\)

Từ đó \(R = {1 \over {2\sin \alpha }}\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\alpha + {h^2}} .\)

Diện tích mặt cầu là \(S = {\pi \over {{{\sin }^2}\alpha }}({a^2}{\sin ^2}\alpha + {h^2}).\)

LG 2

Chứng minh rằng khimp(Q)thay đổi thì tâm mặt cầu nói trên luôn thuộc một đường thẳng cố định và mặt cầu ấy luôn đi qua một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết:

Khi mặt phẳng(Q)thay đổi thìA1luôn thuộcd1mà \(\overrightarrow {JO} = {1 \over 2}\overrightarrow {J{A_1}} ,\) vậyOthuộc đường thẳngd3đi qua trung điểmKcủaIJvà d3song song với d1.

Xét mặt phẳng (R) chứa IJ và vuông góc vớid3thì(R) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn tâmK, màKlà trung điểm củaIJnênIJlà đường kính của đường tròn.

Đường tròn này cố định, từ đó ta có mặt cầu đi qua các điểmI, J, A1, A2, H1luôn đi qua một đường tròn cố định.