Bài 3.39 trang 133 sbt đại số và giải tích 11
Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right],\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Chứng minh các bất đẳng thức sau LG a \({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\) Phương pháp giải: Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\). - Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\) Lời giải chi tiết: Với \(n = 4\) thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24.\) Giả sử đã có \({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4.{\rm{ }}\left( 1 \right)\) Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta có \({3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right)\) \({\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) \( + 2{k^2} + 2k - 3.\) Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right],\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\) LG b \({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8.\) Phương pháp giải: Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\). - Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\). Lời giải chi tiết: Với \(n = 8\) ta có: \({2^{8 - 3}} = {2^5} = 32 > 23 = 3.8 - 1\) nên đúng. Giả sử ta có \({2^{k - 3}} > 3k - 1\,\,\left( 1 \right)\) với \(k \ge 8\), ta cần chứng minh \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3.\left( {k + 1} \right) - 1\) Thật vậy, nhân cả hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(2\) ta có: \({2^{k - 2}} > 3k.2 - 2\)\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3k + 3 + 3k - 5\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) + 3k - 5\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1 + 3k - 4\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\) Hay \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\). Từ đó suy ra đpcm.
|