Bài 38 trang 62 sbt hình học 12 nâng cao

LG 1

Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

Lời giải chi tiết:

Đáy hình nón trong bài toán là đường tròn nội tiếp tam giácABC.

Đường cao hình nón làSO(Slà đỉnh của hình chóp ).

GọiIlà điểm tiếp xúc củaBCvới đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) thì \(OI \bot BC\) và \(SI \bot BC\) nên \(\widehat {SIO}\) =\(\beta .\)

Khi đó, chiều cao hình nón là

\(h = SO = OI\tan \beta = r\tan \beta ,\)

Độ dài đường sinh hình nón là

\(l = SI = {{OI} \over {\cos \beta }} = {r \over {\cos \beta }}.\)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

\({S_1} = \pi rl = \pi r.{r \over {\cos \beta }} = {{\pi {r^2}} \over {\cos \beta }}.\)

Thể tích hình nón là

\({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {r^2}.r.\tan \beta = {1 \over 3}\pi {r^3}\tan \beta .\)

LG 2

Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy ba đường cao của ba mặt bên hình chópS.ABCbằng nhau và cùng bằngSI.

Diện tích xung quanh của hình chóp là

\({S_2} = {1 \over 2}\left( {AB + AC + BC} \right).SI\)

Mặt khác \(AC = AB\sqrt 3 ,BC = 2AB,\)

\(\eqalign{ & {S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}A{B^2}\sqrt 3 , \cr & {S_{\Delta ABC}}= {1 \over 2}\left( {AB + AC + BC} \right).r \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= {1 \over 2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right).AB.r. \cr} \)

Từ đó \(AB = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)r.\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chópS.ABClà

\(\eqalign{ & {S_2} = {1 \over 2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)AB.SI \cr&\;\;\;\;\;= {1 \over 2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)r.{r \over {\cos \beta }} \cr & \;\;\;\;\;= {{\sqrt 3 } \over 2}{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}{{{r^2}} \over {\cos \beta }}. \cr} \)

Thể tích hình chópS.ABC là

\({V_2} = {1 \over 3}.{1 \over 2}AB.AC.SO = {{\sqrt 3 } \over 6}A{B^2}.SO,\) từ đó

\(\eqalign{ {V_2} &= {{\sqrt 3 } \over 6}{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}{r^2}.r\tan \beta \cr & = {{\sqrt 3 } \over 6}{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}{r^3}\tan \beta . \cr} \)