A. Lí thuyết cơ bản
1. Vi phân
a] Định nghĩa:
Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm tại .
Cho số gia tại sao cho .
Ta gọi tích [hoặc ] là vi phân của hàm số tại x ứng với số gia và ký hiệu là dy hoặc . Như vậy, ta có:
hoặc
Áp dụng: Với hàm số , ta được:
Vậy ta có: hoặc .
b] Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng:
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:
Do đó, với đủ nhỏ thì:
Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.
2. Đạo hàm cấp cao
a] Định nghĩa:
Giả sử hàm số có đạo hàm .
-
+ Đạo hàm của hàm số , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số .
Kí hiệu là hay .
-
+ Tương tự, đạo hàm của hàm số , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số .
Kí hiệu là hay .
-
+ Đạo hàm của hàm số , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số .
Kí hiệu là hay .
-
+ Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp
được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số .
Kí hiệu là hay .
b] Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: với là hàm số có đạo hàm.
Khi đó, gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là đạo hàm cấp hai của hàm số tại là .
B. Bài tập
Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số
A. Phương pháp
-
- Tính vi phân của hàm số tại cho trước:
-
- Tính đạo hàm của hàm số tại
-
- Suy ra vi phân của hàm số tại ứng với số gia là:
-
Tính vi phân của hàm số :
-
Suy ra vi phân của hàm số là:
B. Bài tập ví dụ
|
Ví dụ 1: Cho hàm số . Tính vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia . |
Lời giải:
Ta có . Do đó vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia là:
.
|
Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau: a] b] c] d] |
Lời giải:
a] Ta có:
suy ra .
b] Ta có:
Suy ra .
c] Ta có: y'=sinxcosx2'=[sinx]'.cosx2+sinxcosx2'=cosx.cosx2-12sinx.sinx2.
Suy ra dy=y'.dx=cosx.cosx2-12sinx.sinx2dx.
d] Ta có: = sinx + xcosx + sinx = 2sinx + xcosx.
Suy ra .
Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số
A. Phương pháp
Để tính gần đúng giá trị của hàm số tại điểm cho trước, ta áp dụng công thức:
B. Bài tập ví dụ
|
Ví dụ 2.1: Ví dụ tính gần đúng các giá trị sau [lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả]. a] b] c] d] e] |
Lời giải:
a] Ta có . Xét hàm số
chọn và , ta có
b] Ta có
Xét hàm số .
Chọn và , ta có .
c] Ta có
Xét hàm số
Chọn và , ta có
d] Ta có
Xét hàm số
Chọn và , ta có
.
e]
Xét hàm số
Chọn và , ta có
Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
A. Phương pháp
Áp dụng trục tiếp định nghĩa để tính đạo hàm cấp cao:
B. Bài tập ví dụ
|
Ví dụ 3.1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau: a] b] c] d] e] f] |
Lời giải:
a] Có
b] Ta có
c]
d]
e]
f]
Ví dụ 3.2: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a] b]
Lời giải:
a] Bước 1: Ta có:
Dự đoán: [1],
Bước 2: Chứng minh [1] bằng quy nạp:
* : [1] hiển nhiên đúng.
* Giả sử [1] đúng với nghĩa là ta có: ta phải chứng minh [1] cũng đúng với nghĩa là ta phải chứng minh
[2]
Thật vậy: vế trái [2] vế phải [2]
đúng, nghĩa là [1] đúng với .
Bước 3: Theo nguyên lí quy nạp suy ra
b] Ta có: ;
.
Dự đoán: [1], .
Chứng minh [1] bằng phương pháp quy nạp:
* hiển nhiên đúng.
* Giả sử [1] đúng với , nghĩa là ta có: ta phải chứng minh [1] cũng đúng với , nghĩa là ta phải chứng minh:
[2]
Thật vậy, vế trái
Vậy [2] đúng nghĩa là [1] đúng với .
Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra
Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp cao
A. Phương pháp
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: với là hàm số có đạo hàm.
Khi đó, gia tốc tức thời
của chuyển động tại thời điểm là đạo hàm cấp hai của hàm số tại .
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 4.1: Cho chuyển động xác định bởi phương trình với , tính bằng giây và tính bằng .
a] Tính vận tốc tại thời điểm .
b] Tính gia tốc tại thời điểm .
c] Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.
d] Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Lời giải:
Ta có .
a] Vận tốc tại thời điểm là .
b] Gia tốc tại thời điểm là .
c] Vận tốc triệt tiêu .
Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là:
.
d] Gia tốc triệt tiêu .
Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là:
.