Hệ thức lượng trong tam giác và cách giải bài tập hay, chi tiết
Trang trước Trang sau
Với loạt Hệ thức lượng trong tam giác và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.
A. Lí thuyết.
- Định lý cosin: Cho tam giác ABC . Ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AC.cos
AC2 = AB2 + BC2 - 2AB.BC.cos
AB2 = AC2 + BC2 - 2AB.BC.cos
cos
cos
cos
- Định lí sin: Cho tam giác ABC, R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có:
- Độ dài đường trung tuyến: Gọi ma,mb,mc là độ dài đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta có:
ma2=
mb2 =
mc2 =
- Diện tích tam giác:
S =
S =
S =
S =
- Ôn lại các hệ thức lượng trong tâm giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn và các công thức tính diện tính các tam giác, tứ giác đặc biệt.
B. Các dạng bài.
Dạng 1: Tính toán các đại lượng.
Phương pháp giải:
Vận dụng các định lí sin, cosin, trung tuyến, diện tích và quan hệ giữa các đại lượng cần tính, các dạng tam giác đặc biệt.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 1cm , AC = 2cm và
Lời giải:
Áp dụng định lí cosin ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AC.cos
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 23, AC = 24,
Lời giải:
Áp dụng định lí sin ta có:
Dạng 2: Chứng minh hệ thức, tính giá trị các biểu thức:
Phương pháp giải:
Vận dụng các phương pháp chứng minh đẳng thức: biến đổi sao cho hai vế bằng nhau, từ giả thiết ban đầu dẫn đến một đẳng thức đã được công nhận là đúng,… Sử dụng các định lí trong tam giác vuông, tam giác thường, các hệ thức lượng trong tam giác.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích S. Chứng minh cot
Lời giải:
Xét VT =
Áp dụng định lí cosin ta có:
cos
Áp dụng công thức tính diện tích ta có:
S =
Áp dụng định lí sin ta có:
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng BD2 + AC2 = 2[AB2 + AD2]
Lời giải:
Ta có O là tâm hình bình hành ABCD
BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC.
Mà O là trung điểm của BD
[1]
Dạng 3: Chứng minh tam giác.
Phương pháp giải:
Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác, các định lí, công thức về diện tích, đường trung tuyến và các bất đẳng thức, hằng đẳng thức cơ bản.
Tam giác ABC vuông tại A
Tam giác ABC cân tại A
Tam giác ABC đều
Tam giác ABC nhọn khi có cả ba góc nhọn.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh
Lời giải:
Áp dụng định lí cosin ta có:
cos
Mà AB.AC luôn lớn hơn 0 nên cos
Bài 2: Cho tam giác ABC có nửa chu vi p và diện tích S. Xét dạng tam giác ABC khi biết S = p.[p – BC]
Lời giải:
Áp dụng công thức tính diện tích ta có:
S =
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Dạng 4: Giải tam giác và các bài toán thực tế.
Phương pháp giải:
Giải tam giác là tìm số đo các cạnh, các góc còn lại trong tam giác khi biết các giải thiết, áp dụng các hệ thức lượng, định lí, công thức tính diện tích, đường trung tuyến,… Bài toán thực tế được giải bằng cách chuyển về bài toán tam giác để xác định số đo được yêu cầu.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = 17cm,
Lời giải:
Ta có:
Áp dụng định lí sin ta có:
Bài 2: Một ô tô đi từ A đến C nhưng giữa A và C là một ngọn núi cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đường này tạo thành tam giác ABC có AB =15km, BC = 10km và góc
Lời giải:
Áp dụng định lí cosin ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = 2AB.BCcos
C. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 5cm và cos
Đáp án: BC =
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 4cm và
Đáp án: R = 4cm.
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính diện tích tam giác ABC.
Đáp án: S = 6
Bài 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh
Đáp án:
Bài 5: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng cos
Đáp án: Dựng hình như hình vẽ để chứng minh: AD = AB, I là trung điểm của BD.
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 5cm,
Đáp án: AC = 4,19cm; BC = 6,53cm
Bài 7: Cho tam giác ABC có r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và AB2 + AC2 + BC2 = 36r2 . Xét dạng của tam giác ABC.
Đáp án: ABC là tam giác đều.
Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH = AB.sin
Đáp án: Tam giác ABC cân tại C.
Bài 9: Cho ba con đường AB, BC, CA có AB = 300m, BC = 450m và AC = 350m. Một hồ nước nằm giữa. Bạn Hùng đứng trên bờ hồ tại điểm M nằm ở trung điểm BC. Bạn muốn bơi qua hồ đến vị trí điểm A bên kia hồ để về nhà. Bằng các kiến thức đã học em hãy tính toán và đưa ra lời khuyên cho bạn Hùng là có nên bơi qua hồ không. Biết rằng bạn hùng bơi tối đa được 200m.
Đáp án: Không nên [AM = 235,85m]
Bài 10: Từ vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB là 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc
Đáp án: 134,7m
Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau