TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ CÓ ĐÁP ÁN
Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 51. [ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017] Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
A. V=a336. B. V=a3312. C. V=a332. D. V=a334.
Câu 52. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a2.
A. V=a336. B. V=a3312. C. V=a323. D. V=a334.
Câu 53. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB'=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC=a2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=a36. B. V=a33. C. V=a32. D. V=a3.
Câu 54. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác với AB=a, AC=2a, BAC^=1200, AA'=2a5. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=4a35. B. V=a315.
C. V=a3153. D. V=4a353.
Câu 55. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC'=a3.
A. V=a3. B. V=36a34. C. V=33a3. D. V=13a3.
Câu 56. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a, biết A'B=3a.
A. V=45a33. B. V=45a3.
C. V=25a3. D. V=12a3.
Câu 57. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=a2, AB'=a5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.
A. V=a310. B. V=2a323.
C. V=a32. D. V=2a32.
Câu 58. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là 10cm2, 20cm2, 32cm2. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho.
A. V=80cm3. B. V=160cm3. C. V=40cm3. D. V=64cm3.
Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d=21. Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội q=2. Thể tích của khối hộp chữ nhật là
A. V=8. B. V=83. C. V=43. D. V=6.
Câu 60. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy ABC góc 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=3. B. V=36. C. V=32. D. V=12.
Câu 61. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=AA'=a, đường chéo A'C hợp với mặt đáy ABCD một góc α thỏa mãn cotα=5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.
A. V=2a3. B. V=2a33. C. V=5a3. D. V=a35.
Câu 62. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a, BAC^=1200, mặt phẳng AB'C' tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=3a38. B. V=9a38. C. V=a38. D. V=3a34.
Câu 63. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân, AB=a và BAC^=1200, góc giữa mặt phẳng A'BC và mặt đáy ABC bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ.
A. V=a38. B. V=3a38. C. V=3a34. D. V=3a324.
Câu 64. Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng mặt phẳng A'BC hợp với đáy ABCD một góc 600, A'C hợp với đáy ABCD một góc 300 và AA'=a3.
A. V=2a36. B. V=2a363.
C. V=2a32. D. V=a3.
Câu 65. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, BAD^=1200. Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng ADD'A' bằng 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ.
A. V=6. B. V=66. C. V=62. D. V=3.
Vấn đề 3. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 66. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng 2a, đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối hộp đã cho.
A. V=4a323. B.V=8a33. C. V=8a3. D. V=4a32.
Câu 67. Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA'=a, hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm H của AB. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=a336. B.V=a332. C. V=a3. D. V=a33.
Câu 68. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC=2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB và A'A=a2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=a33. B.V=a366. C. V=a362. D. V=2a32.
Câu 69. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A'O=a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=a3312. B. V=a334. C. V=a34. D. V=a36.
Câu 70. Cho hình lăng trụ S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh 2a2 và A'A=a3. Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=a32. B.V=2a33. C. V=a36. D. V=2a3.
Câu 71. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=AC=a. Biết rằng A'A=A'B=A'C=a.
A. V=a32. B.V=a334. C. V=a324. D. V=a3212.
Câu 72. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=1,AC=2; cạnh bên AA'=2. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy ABC trùng với chân đường cao hạ từ B của tam giác ABC. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=214. B. V=2112. C. V=74. D. V=3214.
Câu 73. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng 2a3.
A. V=6a3. B. V=5a32. C. V=4a3. D. V=3a3.
Câu 74. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 12cm3. Tính thể tích V của khối tứ diện AB'CD'.
A. V=2cm3. B. V=3cm3. C. V=4cm3. D. V=5cm3.
Câu 75. Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB=a, AD=a3; A'O vuông góc với đáy ABCD. Cạnh bên AA' hợp với mặt đáy ABCD một góc 450. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=a336. B. V=a333. C. V=a362. D. V=a33.
Câu 76. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của BC. Góc tạo bởi cạnh bên AA' với mặt đáy là 450. Tính thể tích khối trụ ABC.A'B'C'.
A. V=3. B. V=1. C. V=68. D. V=624.
Câu 77. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017] Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AC=22. Biết AC' tạo với mặt phẳng ABC một góc 600 và AC'=4. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB'C'.
A. V=83. B. V=163. C. V=833. D. V=1633.
Câu 78. Tính thể tích V của một khối lăng trụ biết đáy có diện tích S=10 cm2, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 và độ dài cạnh bên bằng 10cm.
A. V=100cm3. B. V=503cm3.
C. V=50cm3. D. V=1003cm3.
Câu 79. Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O và ABC^=1200. Góc giữa cạnh bên AA' và mặt đáy bằng 600. Đỉnh A' cách đều các điểm A,B,D. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V=3a32. B.V=a336. C. V=a332. D. V=a33.
Câu 80. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc ABC^=600. Biết rằng A'O⊥ABCD và cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 600. Tính thể tích V của khối đa diện OABC'D'.
A. V=a36. B. V=a312. C. V=a38. D. V=3a34.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 51. Xét khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a.
Diện tích tam giác đều cạnh a là S=a234.
Chiều cao của lăng trụ h=AA'=a.
Vậy thể tích khối lăng trụ là VABC.A'B'C'=S.h=a334.
Chọn D.
Câu 52. Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều và AA'⊥ABC.
Diện tích xung quanh lăng trụ là Sxq=3.SABB'A'
⇔3a2=3.AA'.AB⇔3a2=3.AA'.a⇒AA'=a.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=a234.
Vậy thể tích khối lăng trụ là VABC.A'B'C'=SΔABC.AA'=a334.
Chọn D.
Câu 53. Tam giác ABC vuông cân tại B,
suy ra BA=BC=AC2=a⇒SΔABC=a22.
Vậy thể tích khối lăng trụ V=SΔABC.BB'=a32.
Chọn C.
Câu 54. Diện tích tam giác ABC là
SΔABC=12AB.AC.sinBAC^=a232.
Vậy thể tích khối lăng trụ
VABC.A'B'C'=SΔABC.AA'=a315.
Chọn B.
Câu 55. Đặt cạnh của khối lập phương là x x>0.
Suy ra CC'=x; AC=x2.
Tam giác vuông ACC', có
AC'=AC2+CC'2⇔x3=a3⇒x=a.
Vậy thể tích khối lập phương V=a3. Chọn A.
Câu 56. Do ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên AA'⊥AB.
Xét tam giác vuông A'AB, ta có
A'A=A'B2-AB2=a5.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=AB2=4a2.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=SABCD.A'A=45a3. Chọn B.
Câu 57. Trong tam giác vuông ABB',
có BB'=AB'2-AB2=2a.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
SABCD=AB.AD=a22.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=SABCD.BB'=2a32. Chọn D.
Câu 58. Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
SABCD=10 cm2SABB'A'=20 cm2SADD'A'=30 cm2⇔AB.AD=10AB.AA'=20AA'.AD=32.
Nhân vế theo vế, ta được AA'.AB.AD2=6400⇒AA'.AB.AD=80.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=AA'.AB.AD=80 cm3. Chọn A.
Câu 59. Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là AA'=a, AB=b, AD=c và có đường chéo AC'.
Theo bài ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có công bội q=2. Suy ra b=2ac=4a.
Mặt khác, độ dài đường chéo AC'=21
⇒AA'2+AB2+AD2=21⇔a2+b2+c2=21.
Ta có hệ c=2b=4aa2+b2+c2=21
⇔c=2b=4aa2+2a2+4a2=21
⇔c=2b=4a21a2=21⇔a=1b=2c=4.
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật
VABCD.A'B'C'D'=AA'.AB.AD=abc=8. Chọn A.
Câu 60. Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AA'⊥ABC, suy ra hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt đáy ABC là AB.
Do đó 600=A'B,ABC^=A'B,AB^=A'BA^.
Tam giác vuông A'AB, ta có AA'=AB.tanA'BA^=3.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=12BA.BC=12.
Vậy V=SΔABC.AA'=32. Chọn C.
Câu 61. Ta có AA'⊥ABCD nên
A'C,ABCD^=A'C,AC^=A'CA^.
Tam giác vuông A'AC, ta có AC=AA'.cotα=a5.
Tam giác vuông ABC, ta có BC=AC2-AB2=2a.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là SABCD=AB.BC=2a2.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=SABCD.AA'=2a3. Chọn A.
Câu 62. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B'C'. Tam giác ABC cân tại A→ tam giác A'B'C' cân tại A'→A'M⊥B'C'.
Lại có B'C'⊥AA'. Từ đó suy ra B'C'⊥AA'M→B'C'⊥AM.
Do đó 600=AB'C',A'B'C'^
=AM;A'M^=AMA'^.
Tam giác vuông A'B'M, có
A'M=A'B'.cosMA'B'^=a.cos600=a2.
Tam giác vuông AA'M, có
AA'=A'M.tanAMA'^=a2.tan600=a32.
Diện tích tam giác
SΔABC=12AB.AC.sinBAC^=a234.
Vậy VABC.A'B'C'=SΔABC.AA'=3a38. Chọn A.
Câu 63. Tương tự như bài 62. Chọn B.
Câu 64. Ta có 300=A'C,ABCD^=A'C,AC^=A'CA^;
600=A'BC,ABCD^=A'B,AB^=A'BA^.
Tam giác vuông A'AB, có AB=AA'tanA'BA^=a.
Tam giác vuông A'AC, có AC=AA'tanA'CA^=3a.
Tam giác vuông ABC,có BC=AC2-AB2=2a2.
Diện tích hình chữ nhật SABCD=AB.BC=2a22.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=SABCD.AA'=2a36. Chọn A.
Câu 65. Hình thoi ABCD có BAD^=1200, suy ra ADC^=600. Do đó tam giác ABC và ADC là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên C'N⊥A'B'C'N=32.
Suy ra 300=AC',ADD'A'^=AC',AN^=C'AN^.
Tam giác vuông C'NA, có AN=C'NtanC'AN^=32.
Tam giác vuông AA'N, có AA'=AN2-A'N2=2.
Diện tích hình thoi SABCD=AB2.sinBAD^=32.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=SABCD.AA'=62. Chọn C.
Vấn đề 3. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 66. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD,
suy ra A'O⊥ABCD.
Tam giác vuông A'OA, có
A'O=AA'2-AO2=4a2-2a2=a2.
Diện tích hình vuông SABCD=4a2.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=SΔABCD.A'O=4a32. Chọn D.
Câu 67. Theo giả thiết, ta có A'H⊥AB.
Tam giác vuông A'HA,
có A'H=AA'2-AH2=a32.
Diện tích hình vuông SABCD=a2.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=SABCD.A'H=a332. Chọn B.
Câu 68. Từ giả thiết suy ra BA=BC=a2.
Tam giác vuông A'HA, có A'H=AA'2-AH2=a62.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=12BA.BC=a2.
Vậy V=SΔABC.A'H=a362. Chọn C.
Câu 69. Diện tích tam giác đều SΔABC=a234. Chiều cao khối lăng trụ A'O=a.
Vậy thể tích khối lăng trụ V=SΔABC.A'O=a334. Chọn A.
Câu 70. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,BC.
Khi đó G=AN∩CM là trọng tâm ΔABC.
Theo giả thiết, ta có A'G⊥ABC.
Tam giác ABC đều cạnh 2a2 nên suy ra
AN=a6→AG=23AN=23a6.
Tam giác vuông A'GA, có A'G=A'A2-AG2=a33.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=2a22.34=2a23.
Vậy thể tích khối lăng trụ VABC.A'B'C'=SABC.A'G=2a3. Chọn D.
Câu 71. Gọi I là trung điểm BC. Từ A'A=A'B=A'C=a, suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Suy ra A'I⊥ABC.
Tam giác ABC, có BC=AB2+AC2=a2.
Tam giác vuông A'IB, có A'I=A'B2-BI2=a22.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=12AB.AC=a22.
Vậy VABC.A'B'C'=SΔABC.A'I=a324. Chọn C.
Câu 72. Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong ΔABC.
Theo giả thiết, ta có A'H⊥ABC.
Tam giác vuông ABC, có
BC=AC2-AB2=3; AH=AB2AC=12.
Tam giác vuông A'HA, có A'H=AA'2-AH2=72.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=12AB.BC=32.
Vậy VABC.A'B'C'=SΔABC.A'H=214. Chọn A.
Câu 73. Ta có thể tích khối chóp VA.A'B'C'=13VABC.A'B'C'.
Suy ra VA.BCB'C'=23VABC.A'B'C'
→VABC.A'B'C'=32VA.BCB'C'=32.2a3=3a3.Chọn D.
Câu 74. Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp.
Thể tích khối hộp VABCD.A'B'C'D'=S.h=12cm3.
Chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành khối tứ diện AB'CD' và 4 khối chóp: A.A'B'D', C.B'C'D', B'.BAC, D'.DAC [như hình vẽ].
Ta thấy bốn khối chóp này có thể tích bằng nhau và cùng bằng 13.S2.h. Suy ra tổng thể tích 4 khối chóp bằng V'=23Sh.
Vậy thể tích khối tứ diện
VAB'CD'=Sh-23Sh
=13Sh=13.12=4cm3. Chọn C.
Câu 75. Vì A'O⊥ABCD nên
450=AA',ABCD^=AA',AO^=A'AO^.
Đường chéo hình chữ nhật
AC=AB2+AD2=2a⇒AO=AC2=a.
Suy ra tam giác A'OA vuông cân tại O nên
A'O=AO=a.
Diện tích hình chữ nhật SABCD=AB.AD=a23.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=SABCD.A'O=a33. Chọn D.
Câu 76. Tam giác ABC đều cạnh bằng 2 nên AH=3. Vì A'H⊥ABC nên hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt đáy ABC là AH.
Do đó 450=AA',ABC^=AA',AH^=A'AH^. Suy ra tam giác A'HA vuông cân tại H nên A'H=HA=3.
Diện tích tam giác đều ABC là SΔABC=3.
Vậy V=SΔABC.A'H=3. Chọn A.
Câu 77. Gọi H là hình chiếu của C' trên mặt phẳng ABC.
Suy ra AH là hình chiếu của AC' trên mặt phẳng ABC.
Do đó 600=AC',ABC^=AC',AH^=HAC'^.
Tam giác vuông AHC',
có C'H=AC'.sinHAC'^=23.
Thể tích khối lăng trụ
VABC.A'B'C'=SΔABC.C'H=83.
Suy ra thể tích cần tính
VABCB'C'=23VABC.A'B'C'=1633. Chọn D.
Câu 78. Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC.
Gọi H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng ABC⇒A'H⊥ABC. Suy ra AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng ABC.
Do đó
600= AA',ABC^=AA',AH^=A'AH^.
Tam giác A'AH vuông tại H, có
A'H=AA'.sinA'AH^=53.
Vậy V=SΔABC.A'H=503 cm3. Chọn B.
Câu 79. Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a.
Gọi H là tâm tam giác ABD. Vì A' cách đều các điểm A,B,D nên A'H⊥ABD.
Do đó 600=AA',ABCD^=AA',HA^=A'AH^.
Ta có AH=23AO=23.a32=a33.
Tam giác vuông A'AH, có A'H=AH.tanA'AH^=a.
Diện tích hình thoi SABCD=2SΔABD=a232.
Vậy VABCD.A'B'C'D'=SABCD.A'H=a332. Chọn C.
Câu 80. Từ giả thiết, suy ra tam giác ABC đều
cạnh a ⇒OA=AC2=a2.
Vì A'O⊥ABCD nên 600=AA',ABCD^=AA',AO^=A'AO^.
Tam giác vuông A'AO, có OA'=OA.tanA'AO^=a32.
Suy ra thể tích khối hộp V=SABCD.OA'=3a34.
Ta có V=VO.ABC'D'+VAA'D'.BB'C'
+VC'.BOC+VD'.AOD+VO.CDD'C'
=VO.ABC'D'+12V+112V+112V+16V
⇒ VO.ABC'D'=V6=a38.Chọn C.