Bán kính hình tròn nội tiếp lớn nhất khi nào năm 2024
- Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn Show Ví dụ: Đường tròn $(O_1)$ ngoại tiếp tam giác ABC; đường tròn $(O_2)$ ngoại tiếp ngũ giác MNOPQ \n Ví dụ: Đường tròn (O ) nội tiếp hình thanh ABCD \n
- Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp - Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều Ví dụ: Tam giác ABC đều có tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau Hình vuông XYZT có tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau \n
Đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Ta có: Nội dung của bài viết này bao gồm phần tóm tắt lý thuyết cần nắm và phần giải bài tập thông qua các đề trắc nghiệm và tự luận. Nào chúng ta cùng bắt đầu nhé! Bài viết tham khảo thêm:
I. Lý thuyết cần nắm về Đường tròn ngoại tiếp – Đường tròn nội tiếp1. Đường tròn ngoại tiếp
Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. Ví dụ: Trong các hình dưới đây, đường tròn tâm O được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác vì nó đi qua tất cả các đỉnh của đa giác. Khi đó, ΔABC, tứ giác CBAD và ngũ giác ABCDE lần lượt được gọi là tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp và ngũ giác nội tiếp đường tròn (Đa giác ở bên trong đường tròn).
Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác là giao điểm của các đường trung trực của tất cả các cạnh. Vậy nên, để xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp một đa giác, ta cần làm như sau:
Vì vậy, một đa giác sẽ có đường tròn ngoại tiếp nếu đường trung trực của các cạnh đồng quy tại một điểm và điểm đồng quy đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác. Các em học sinh có thể tham khảo thêm bài viết: Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh tứ giác nội tiếp 2. Đường tròn nội tiếp
Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. Ví dụ: Đường tròn tâm O trong hình dưới là đường tròn nội tiếp vì nó tiếp xúc với tất cả cạnh của đa giác. Khi đó, Khi đó, ΔABC, tứ giác CBAD và ngũ giác ABCDE được gọi lần lượt là tam giác ngoại tiếp, tứ giác ngoại tiếp và ngũ giác ngoại tiếp đường tròn tâm O (đa giác nằm bên ngoài đường tròn tâm O).
Tâm đường tròn nội tiếp đa giác là giao (∩) của các đường phân giác của tất cả các góc trong một đa giác. Để có thể xác định tâm đường tròn nội tiếp một đa giác, ta cần làm như sau:
Vậy nên, một đa giác có đường tròn nội tiếp khi đường phân giác của các góc trong đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đó. 3. Định lýBất kỳ đa giác nào cũng đều có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. Ngũ giác đều ABCDE có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp. Đặc biệt, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều ABCDE trùng nhau, đều là tâm o. Chú ý: Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều. Bài tập tự luậnBài 1: (61/91/SGK TOÁN 9T2)
Lời giải:
ΔAOB có OA = OB (=R) => ΔAOB cân tại O. Lại có: Góc AOB = 90° (vì AC ⊥ BD theo tính chất đường chéo của hình vuông, nên ΔAOB vuông cân tại O). \=> R = OH = (OB√2)/2 = √2 (cm) Bài 2: (62/91/SGK TOÁN 9 T2)
– Vẽ đoạn thẳng BC dài 3cm. – Lấy B làm tâm vẽ cung tròn bán kính 3cm. – Lấy C làm tâm vẽ cung tròn bán 3cm. – Cũng trên tâm B và cũng trên tâm C cắt nhau tại A. Nối A với B, nối A với C ta được tam giác đều ABC cạnh có độ dài 3cm.
– Vẽ các đường cao AH, BE ứng với cạnh BC và cạnh AC. AH và BE cắt nhau tại O. O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC vì O cách đều A, B, C (Tam giác đều ba đường cao đồng thời ba đường trung tuyến, trung trực, phân giác). – Vẽ tiếp đường tròn tâm O có bán kính OA = R. Ta có: R = OA = 2/3 AH = 2/3. (AB√3)/3 = √3 (cm)
tam giác đó. Vì ABC là tam giác nên O là giao điểm của ba đường cao AH, BE, CF đồng thời O cũng là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác này. Vẽ đường tròn tâm O bán kính OH = r là đường tròn nội tiếp ΔABC. Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác thì OA = 1/3AH. ΔAHB vuông tại H (tam giác đều đường phân giác cũng là đường cao) nên: AB² = AH² + HB² (Định lí Pi-ta-go). \=> AH² = AB² – HB² = a² – (a/2)² = a² – a²/4 = 3a²/4 \=> AH = (a√3)/2 Mà OH = 1/3 AH => OH = r = 1/3.(a√3)/2 = √3/2 (a = 3 cm)
Do đó tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O ; R) thì đường tròn (O ; R) nội tiếp tam giác này => Tâm O của (O ; R) chính là giao điểm của ba đường trung trực, phân giác, đường cao của tam giác đều IJK. Từ đó ta có cách vẽ. Vẽ ba đường thẳng ứng với OA, OB, OC tại A, B, C ba đường thẳng này cắt nhau tại I, J, K. IJK chính là tam giác đều phải vẽ. Bài tập trắc nghiệmCâu 1: Tính độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp (O; R) theo R
Lời giải: Gọi tam giác nội tiếp đường tròn (O; R) là ΔABC đều cạnh a. Khi đó ta có O là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi đường trung tuyến là AH. \=> R = AO = 2/3 AH => AH = 3R/2 Theo định lý Pytago ta có: AH² = AB² – BH² = 3a²/4 => AH = (a√3)/2 Từ đó: 3R/2 = (a√3)/2 => a = √3R Vậy B là đáp án cần tìm Câu 2: Tính diện tích của một tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
Lời giải: Gọi tam giác nội tiếp đường tròn (O; 2cm) là ΔABC đều cạnh a. Khi đó ta có điểm O là trọng tâm tam giác ABC và cũng là của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => AO = 2cm. Gọi đường trung tuyến là AH => 2/3AH = AO = 2cm => AH = 3cm Theo định lý Pytago ta có: AH² = AB² – BH² = 3a²/4 => AH = (a√3)/2 Mà AH = 3cm => 3 = (a√3)/2 => a = 2√3 cm Diện tích tam giác ABC là: S ΔABC = 1/2.AH.BC = 1/2 x 3 x 2√3 = 3√3 cm² Vậy D là đáp án cần tìm Câu 3: Cho đường tròn tâm O có bán kính = 4. Dây AC có độ dài bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC có độ dài bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn đó (Hai điểm A và C nằm cùng phía với BO). Tìm số đo góc ACB? |