CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bộ môn Toán Giải tích lớp 12 các em học sinh sẽ được học dạng bài tập: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Cunghocvui.com sẽ tổng hợp phương pháp dạng bài tập này.
I. Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số
Cho hàm số \[y =\] \[f[x]\] xác định trên tập D.
- M là GTLN của \[y = f[x]\] trên tập D khi: \[\left\{\begin{matrix}f[x] \leqslant M & \\ \exists x_{o, f[x_{o}] = M} & \end{matrix}\right.\]
- m là GTNN của \[y = f[x]\] trên tập D khi: \[\left\{\begin{matrix}m \leqslant f[x],\forall x_{o} \in D & \\ \forall x_{o} \in D, f[x_{o}] = m & \end{matrix}\right.\]
II. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc: Tìm GTLN, GTNN của hàm số \[f[x]\] liên tục trên một đoạn \[\begin{bmatrix}a; b\end{bmatrix}\].
- Tìm các điểm \[x_{i} \in [a; b]\] [i = 1, 2,...,n] mà tại đó \[f'[x_{i}] = 0 \] hoặc \[f'[x_{i}] \] không xác định.
- Tính \[f[x]\] , \[f[b]\], \[f[x_{i}] \] [i = 1, 2,...,n].
GTLN, GTNN trong các giá trị trên là GTLN, GTNN của hàm số \[f\] trên \[\begin{bmatrix}a, b\end{bmatrix}\].
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y = f[x]\] xác định trên tập D, tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, sau đó căn cứ bảng biến thiên của hàm số và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
Quy tắc: Tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y = f[x]\] trên khoảng \[[a, b]\] .
- Tính \[f'[x]\]. Tìm các điểm mà tại đó \[f'[x]\] = 0 hoặc \[f'[x]\] không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN.
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa tham số m
Hàm số có chứa tham số m và thỏa mãn điều kiện về GTLN, GTNN trên một đoạn.
Ví dụ:
Ví dụ cách tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa tham số m
III. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng máy tính
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Tìm GTLN, GTNN của hàm số \[f[x]\] liên tục trên một đoạn \[\begin{bmatrix}a; b\end{bmatrix}\].
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Dùng lệnh MODE 7 để lập bảng giá trị trên máy tính Casio.
- Bước 2: Nhập f[x] = ...
Start?a= \[\rightarrow \] End?b= \[\rightarrow \] Step? \[\alpha \] = ?
[\[\alpha \] chọn tùy thuộc vào đề bài]
Ta nhận được bảng giá trị, quan sát sẽ thấy GTLN hiển thị là max, GTNN hiển thị là min.
Nếu đề bài liên quan đến lượng giác như sinx, cosx...chuyển máy tính sang chế độ radian bằng lệnh SHIEF MODE 4 và tính.
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y = x^{3} + 3x^{2} \] trên đoạn \[\begin{bmatrix}-1, 3\end{bmatrix}\].
Nhập MODE 7, nhập \[f[x] = x^3 + 3x^2\], Start?-1 = End? 3 = Step? 0.5 =
Ta được bảng giá trị và ta thấy f[3] = 54 là GTLN, f[0] = 0 là GTNN.
2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
Các bước tương tự như dạng 1 nhưng cần chú ý đề để chọn GTLN, GTNN. Cần xem kỹ x có thuộc miền trong đề bài không.
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa tham số m
Ví dụ:
Ví dụ sử dụng máy tính tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có chứa tham số m
Trên đây là toàn bộ phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, rất mong giúp được quý độc giả. Sau khi học xong lý thuyết, các em có thể tham khảo thêm bài tập tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì? Các dạng toán liên quan đến GTLN và GTNN như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề GTLN và GTNN qua bài viết dưới đây nhé!
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là gì?
Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số \[y=f[x]\] xác định trên tập D
- M được gọi là GTLN của f[x] trên D nếu \[\left\{\begin{matrix} f[x]\leq M\\ \exists x_{0}, f[x_{0} = M] \end{matrix}\right.\]
- m được gọi là GTNN của f[x] trên D nếu \[\left\{\begin{matrix} M\leq f[x],\, \forall x \in D\\ \forall x_{0} \in D, f[x_{0}] = m \end{matrix}\right.\]
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] xác định trên tập hợp D
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] trên D ta tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN.
Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số f[x] liên tục trên một đoạn [a;b]
- Tìm các điểm \[x_{i} \in [a;b]\, [i=1,2,…,n]\] mà tại đó \[f'[x_{i}] = 0\] hoặc \[f'[x_{i}]\] không xác định.
- Tính \[f'[x], f[b], f[x_{i}]\, [i=1,2,…,n]\]
- Khi đó:
- \[\underset{[a;b]}{max}f[x] = max\left \{ f[a], f[b],f[x_{i}] \right \}\]
- \[\underset{[a;b]}{min}f[x] = min\left \{ f[a], f[b],f[x_{i}] \right \}\]
Chú ý:
- Nếu hàm số y = f[x] luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm trên [a;b] thì \[\underset{[a;b]}{max} f[x] = max \left \{ f[a], f[b] \right \}\], \[\underset{[a;b]}{min} f[x] = min \left \{ f[a], f[b] \right \}\].
- Nếu hàm số y = f[x] là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn nằm trong D có độ dài bằng T.
- Cho hàm số y = f[x] xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t = u[x], ta tìm được \[t\in E \, \forall x\in D\], ta có y = g[t] thì GTLN, GTNN của hàm f trên D chính là GTLN, GTNN của hàm g trên E.
Ví dụ và cách giải bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f[x] = -x^3+4x^2-5x+1\] trên đoạn [1;3]
Cách giải:
Ta có \[f'[x] = -3x^2+8x-5\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 8x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin [1;3]\] hoặc \[x = \frac{5}{3} \in [1;3]\]
Ta có:
\[f[1] = -1, f[\frac{5}{3}] = -\frac{23}{27}, f[3] = -5\]
Vậy \[\underset{[1;3]}{max}f[x] = -\frac{23}{27} \, khi \, x=\frac{5}{3}\]
\[\underset{[1;3]}{min}f[x] =-5 \, khi \, x=3\]
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[f[x] = \frac{4}{3}\sin ^3x -sin^2x + \frac{2}{3}\] trên đoạn \[[0;\pi ]\]
Cách giải:
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[f[x] = 2x + \sqrt{5-x^2}\]
Cách giải:
Tập xác định \[D = [-\sqrt{5};\sqrt{5}]\]
Ta có: \[f'[x] = 2-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}= \frac{2\sqrt{5-x^2}-x}{\sqrt{5-x^2}}\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} – x =0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} = x\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4[5-x^2] = x^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 5x^2-20 =0 \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-2 \end{array}\right. \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow x=2\in [-\sqrt{5};\sqrt{5}]\]
Ta có: \[f[-\sqrt{5}] = -2\sqrt{5}; f[2] = 5; f[\sqrt{5}] = 2\sqrt{5}\]
Vậy \[\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{max} f[x] = 5\, khi\, x=2\]
\[\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{min} f[x] = -2\sqrt{5}\, khi\, x=-\sqrt{5}\]
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề GTLN và GTNN của hàm số. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về GT lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây của thầy Nguyễn Quốc Chí:
[Nguồn: www.youtube.com]
Xem thêm:
Please follow and like us: