Bạn đang xem tài liệu "Toán 9 - Chuyên đề 5: Phương trình bậc hai phương trình bậc hai", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chuyên đề 5: Phương trình bậc hai Phần II. kiến thức cần nắm vững 1. Công thức nghiệm: Phương trình ax2+bx+c = 0 [a ạ 0] có D = b2- 4ac +Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm +Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = +Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 2. Công thức nghiệm thu gọn: Phương trình ax2+bx+c = 0 [a ạ 0] có D’=b’ 2- ac [ b =2b’ ] +Nếu D’ < 0 thì phương trình vô nghiệm +Nếu D’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = +Nếu D’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 3. Hệ thức Vi-ét a] Định lí Vi-ét: Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 [aạ0] thì : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 = b] ứng dụng: +Hệ quả 1: Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 [a ạ 0] có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = +Hệ quả 2: Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 [a ạ 0] có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = c] Định lí: [đảo Vi-ét] Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0 [x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P ³ 0] Chú ý: + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm [tức là D ≥ 0] + Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu Phần II. bài tập rèn luyện I. Toán trắc nghiệm [Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết] Bài 1: Điền vào chỗ ..... để có mệnh đề đúng a] Phương trình mx2+nx+p = 0 [m ạ 0] có D = ..... Nếu D ..... thì phương trình vô nghiệm Nếu D ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = ..... Nếu D ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =..... ; x2 = ..... b] Phương trình px2+qx+k = 0 [p ạ 0] có D’= .....[với q = 2q’ ] Nếu D’ ..... thì phương trình vô nghiệm Nếu D’ ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = ..... Nếu D’ ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =..... ; x2 = ..... Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai A. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 [a ạ 0] thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = B. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 [a ạ 0] thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = C. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 [a ạ 0] có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = D. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 [a ạ 0] có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = E. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 [a ạ 0] có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = F. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 [a ạ 0] có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0 H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- P x+S = 0 Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau: A.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = B.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = C.Phương trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm làvà tích hai nghiệm là D.Phương trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là và tích hai nghiệm là Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao? GV:cần khắc sâu hơn về a ạ 0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK: D ≥ 0] II. Toán tự luận Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán Bài 1: Giải phương trình a] x2 - 49x - 50 = 0 b] [2-]x2 + 2x – 2 – = 0 Giải: a] Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0 + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm [a = 1; b = - 49; c = 50] D = [- 49]2- 4.1.[- 50] = 2601; = 51 Do D > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; + Lời giải 2: ứng dụng của định lí Viet Do a – b + c = 1- [- 49] + [- 50] = 0 Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = + Lời giải 3: D = [- 49]2- 4.1.[- 50] = 2601 Theo định lí Viet ta có : Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = b] Giải phương trình [2-]x2 + 2x – 2 – = 0 Giải: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm [a = 2-; b = 2; c = – 2 –] D = [2]2- 4[2-][– 2 –] = 16; = 4 Do D > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn [a = 2-; b’ = ; c = – 2 –] D’ = []2- [2-][– 2 –] = 4; = 2 Do D’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; + Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet Do a + b + c = 2- + 2+ [- 2 - ] = 0 Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = *Yêu cầu: + Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức + áp dụng đúng công thức [không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót] + Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán * Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1. 3x2 – 7x - 10 = 0 2. x2 – 3x + 2 = 0 3. x2 – 4x – 5 = 0 4. 3x2 – 2x – 3 = 0 5. x2 – [1+]x + = 0 6.x2 – [1-]x – 1 = 0 7.[2+]x2 - 2x – 2 + = 0 8. x2 – – 6 = 0 Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình x2 – 42x + 441 = 0 [*] Ta có: D’ = [- 21]2- 441 = 0 Phương trình [*] có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 *Bài tập tương tự: 1. Tìm hai số u và v biết: a] u+v = -42 và u.v = - 400 b] u - v = 5 và u.v = 24 c] u+v = 3 và u.v = - 8 d] u - v = -5 và u.v = -10 2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2 Bài 3: Giải các phương trình sau [phương trình quy về phương trình bậc hai] a] x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 b] c] 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d] 3[x2+x] – 2 [x2+x] – 1 = 0 Giải a] Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 [1] [1] Û [x2 - 2][x + 3] = 0 Û [x + ][x - ][x + 3] = 0 Û x = -; x = ; x = - 3 Vậy phương trình [1] có nghiệm x = -; x = ; x = - 3 b] Giải phương trình [2] Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì [2] Û 2x[x- 4] = x2 – x + 8 Û x2 – 7x – 8 = 0 [*] Do a – b + c = 1- [-7] + [- 8] = 0 nên phương trình [*] có nghiệm x1 = -1[không thoả mãn ĐK] ; x2 = 8 [thoả mãn ĐK] Vậy phương trình [2] có nghiệm x = 8 c] Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 [3] Ta có: [3] Û 5x4 – 3x2 – 26 = 0 Đặt x2 = t [t ³ 0] thì [3] Û 5t2 – 3t – 26 = 0 Xét D = [-3]2 – 4.5.[-26] = 529. ị = 23 Nên: t1 =[thoả mãn t ³ 0] ; t2 = [loại] Với t = Û x2 = Û x = Vậy phương trình [3] có nghiệm x1 = ; x2 = d] Giải phương trình 3[x2+x] – 2 [x2+x] – 1 = 0 [4] Đặt x2+x = t . Khi đó [4] Û 3t2 – 2t – 1 = 0 Do a + b + c = 3 + [- 2] + [- 1] = 0 . Nên t1 = 1; t2 = t1 = 1Û x2+x = 1Û x2 + x – 1 = 0 D1 = 12 - 4.1.[-1] = 5 > 0. Nên x1 = ; x2 = t2 = Û x2+x = Û 3x2 + 3x + 1 = 0 [*] D2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên [*] vô nghiệm Vậy phương trình [4] có nghiệm x1 = ; x2 = * Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1. x3+3x2+3x+2 = 0 2. [x2 + 2x - 5]2 = [x2 - x + 5]2 3. x4 – 5x2 + 4 = 0 4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 5. x3 + 2 x2 – [x - 3]2 = [x-1][x2-2 6. 7. [x2 – 4x + 2]2 + x2 - 4x - 4 = 0 8. 9. Bài 4: Cho phương trình x2 + x - = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23 Giải Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 =; x1.x2 = A = ; B = x12 + x22 = [x1+x2]2- 2x1x2= C = ; D = [x1+x2][ x12- x1x2 + x22] = * Bài tập tương tự: Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23 E = ; F = Loại toán rèn kỹ năng suy luận [Phương trình bậc hai chứa tham số] Bài 1: [Bài toán tổng quát] Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 [a ạ 0] có: 1. Có nghiệm [có hai nghiệm] Û D ³ 0 2. Vô nghiệm Û D < 0 3. Nghiệm duy nhất [nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau] Û D = 0 4. Có hai nghiệm phân biệt [khác nhau] Û D > 0 5. Hai nghiệm cùng dấu Û D³ 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0 7. Hai nghiệm dương[lớn hơn 0] Û D³ 0; S > 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm[nhỏ hơn 0] Û D³ 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c < 0 và S < 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c 0 [ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ] * Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán này Bài 2: Giải phương trình [giải và biện luận]: x2- 2x+k = 0 [ tham số k] Giải D’ = [-1]2- 1.k = 1 – k Nếu D’ 1 ị phương trình vô nghiệm Nếu D’= 0 Û 1- k = 0 Û k = 1 ị phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu D’> 0 Û 1- k > 0 Û k < 1 ị phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1- ; x2 = 1+ Kết luận: Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1 Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+ Bài 3: Cho phương trình [m-1]x2 + 2x - 3 = 0 [1] [tham số m] a] Tìm m để [1] có nghiệm b] Tìm m để [1] có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó? c] Tìm m để [1] có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại[nếu có]? Giải a] + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì [1] có dạng 2x - 3 = 0 Û x = [là nghiệm] + Nếu m ≠ 1. Khi đó [1] là phương trình bậc hai có: D’=12- [-3][m-1] = 3m-2 [1] có nghiệm Û D’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³ + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ³ thì phương trình có nghiệm b] + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì [1] có dạng 2x - 3 = 0 Û x = [là nghiệm] + Nếu m ≠ 1. Khi đó [1] là phương trình bậc hai có: D’ = 1- [-3][m-1] = 3m-2 [1] có nghiệm duy nhất Û D’ = 3m-2 = 0 Û m = [thoả mãn m ≠ 1] Khi đó x = +Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = với m = thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 c] Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có: [m-1]22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m – 3 = 0 Û m = Khi đó [1] là phương trình bậc hai [do m -1 = -1= ≠ 0] Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6 * Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số [khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót] Bài 4: Cho phương trình: x2 -2[m-1]x – 3 – m = 0 [ ẩn số x] a] Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c] Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm d] Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 10. e] Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f] Hãy biểu thị x1 qua x2 Giải a] Ta có: D’ = [m-1]2 – [– 3 – m ] = Do với mọi m; ị D > 0 với mọi m ị Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình luôn có hai nghiệm [đpcm] b] Phương trình có hai nghiệm trái dấu Û a.c -3 Vậy m > -3 c] Theo ý a] ta có phương trình luôn có ... c = 0 với a, b, c là các số hữu tỷ, a 0, có một nghiệm là 1 + . Hãy tìm nghiệm còn lại Bài 200 Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: kx2 – [ 1-2k] + k – 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ. Bài 201 Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4[a – 1]x + a2 – 4a + 1 = 0 xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức : Bài 202 Cho biết phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b,phương trình: x2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm là b và c chứng minh hệ thức : [b – a][b – c] = pq – 6 Bài 203 Cho các phương trình : x2 - 5x + k = 0 [1] x2 - 7x + 2k = 0 [2] Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình [2] lớn gấp 2 một trong các nghiệm của phương trình [1] Bài 204 Cho các phương trình : 2x2 + mx – 1 = 0 [1] mx2 - x + 2 = 0 [2] Với giá trị nào của m, phương trình [1] và phương trình [2] có nghiệm chung Bài 205 Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 3x2 - cx +2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: S = Bài 206 Xác định a để hai phương trình sau có nghiệm chung : x2 + ax + 8 = 0 x2 + x + a = 0 Bài 207 Tìm tất cả các số nguyên k để các phương trình bậc hai: 2x2 + [3k – 1]x – 3 = 0 6x2 – [2k – 3]x – 1 = 0 a] Có nghiệm chung b] Tương đương với nhau Bài 208 Cho phương trình bậc hai: 2x2 + 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: Bài 209 Cho biết x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [a 0, a,b,c R]. Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là : Bài 210 Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 . Hãy việt phương trình bậc hai nhân x13 và x23 làm hai nghiệm Bài 211 Cho f[x] = x2 – 2[m+ 2]x + 6m + 1 a] CMR: phương trình f[x] = 0 có nghiệm với mọi m. b] Đặt x = t + 2. Tính f[x] theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f[x] = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2 Bài 212 Cho phương trình : x2 -2[m + 1]x + m2 + m - 6 = 0 a] Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm b] Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: Bài 213 CMR: phương trình :[ x + 1][x+3] + m[x + 2][x + 4] = 0 Luôn luôn có nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m Bài 214 Cho phương trình bậc hai: x2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 72 Bài 215 Giả sử a và b là hai số khác nhau. Chứng minh rằng nếu hai phương trình: x2 + ax + 2b = 0 [1] x2 + bx + 2a = 0 [2] Có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn lại của [1] và [2] là nghiệm chung của phương trình : x2 + 2x + ab = 0 Bài 216 Cho hai phương trình : x2 + ax + 2b = 0 [1] x2 + bx + ac = 0 [2] [ a,b,c đôi một khác nhau và khác 0] Cho biết [1] và [2] có đúng một nghiệm chung. Chứng minh rằng hai nghiệm còn lại của phương trình [1] và [2] là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0 Bài 217 Cho phương trình: x2 – [m – 1]x – m2 + m - 2 = 0 a] Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m b] Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 218 Cho hai phương trình: x2 + a1x + b1 = 0 [1] x2 + a2x + b2 = 0 [2] Cho biết a1a2 2[b1 + b2]. Chứng minh một trong hai phương trình đã cho có nghiệm. Bài 219 Cho ba phương trình: ax2 + 2bx + c = 0 [1] bx2 + 2cx + a = 0 [2] cx2 + 2ax + b = 0 [3] với a,b,c ≠ 0. Chứng minh rằng, ít nhất một trong ba phương trình trên đây phải có nghiệm Bài 220 Cho phương trình: x2 – 2[m – 1]x + m2 – 3m + 4 = 0 a] Xác định m để phương trình có hai nghiệm pân biệt x1, x2 thoả mãn: b] Lập một hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m Bài 221 Cho phương trình: [m + 2]x2 – 2[m – 1]x + 3 – m = 0 a] Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức : x12 + x22 = x1 + x2 b] Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m c] Viết một phương trình bậc hai có các nghiệm là: x1 = , x2 = Bài 222: Cho phương trình: x2 + [m+1] + m = 0 a] Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b] Xác định m để biểu thức: E = x12+x22 đạt giá trị bé nhất. Bài 223 Cho phương trình; [a – 3]x2 – 2[a – 1]x a – 5 = 0 a] giải phương trình khi a =13 b] Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 224 Cho phương trình bậc hai: 2x2 + [2m – 1]x + m – 1 = 0 a] Chứng minh rằng phương trình luông luôn có nghiệm với mọi m b]Tìm m để phương trình có nghiệm kép.Tìm nghiệm đó c] Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân x1, x2 thoả mãn: -1 < x1 < x2 0 thoả mãn: x1 + t1 2 Bài 228 Cho 2 phương trình : ax2 + bx + c = 0 [1] cx2 + bx + a = 0 [2] [a, b, c ạ 0 ]. Chứng minh rằng nếu [1] có hai nghiệm tương đương x1, x2 thì [2] cũng có hai 2 nghiệm tương đương x3, x4. Ngoài các nghiệm đó thoả mãn x1 + x2 + x3 + x4 4 Bài 229 Không giải phương trình: 3x2 + 17x – 14 = 0 [1] Hãy tính giá trị của biểu thức: S= Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình [1] Bài 230 a] Không giải phương trình, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình X2 - b] Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phương trình: ax2 + [2a – 1]x + a – 2 = 0 là các số hữu tỷ? Bài 231 Cho phương trình: 2x2 – [2m + 1]x + m2 – 9m + 39 = 0 a] Giải phương trình khi m =9 b] Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c] Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm đó. Bài 232 Cho phương trình bậc hai: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm a và b Bài 233 Cho f[x] = [4m – 3]x2 – 3[m + 1]x + 2[m + 1] a] Khi m = 1, tìm nghiệm của phương trình đó b] Xác định m để m để f[x] viết được dưới dạng một bình phương c] Giả sử phương trình f[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1x2 lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m. Bài 234 Cho x,y > 0 thoả mãn hệ thức: Hãy tính giá trị của biểu thức: E = Bài 235 Cho phương trình : x2 – 2[m – 1]x – 3 – m = 0 a] Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm với mọi m b] Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x2 thoả mãn : x12 + x22 10 c] Xác định m để phương trình có nghiệm x1, x2 sao cho: E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 236 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 px2 + qx + r = 0 có ít nhất một nghiệm chung. Chứng minh rằng ta có hệ thức: [pc–ar]2 = [pb–aq][cq–rb] Bài 237 Cho phương trình: x2 + ax + b = 0 [1] x2 – cx – d = 0 [2] Các hệ số a, b, c, d thoả mãn: a[a–c]+c[c–a]+8[d–b] > 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt . Bài 238 Giả sử phương trình bậc hai: x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng: ax2 + bx2 là một hợp số. Bài 239 Giả sử phương trình bậc hai: x2 – 2[m + 1]x + 2m + 10 = 0 Có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Xác định m để biểu thức E = x12 + x22 + 10x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E Bài 240 Cho biết phương trình: x2 – [a – 1]x + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2; Xác định a để biểu thức M = 3x2 + 5x1x2 + 3x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm nghiệm trong trường hợp M đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 241 Cho phương trình: x2 + px – 1 = 0 [p là số lẻ] có hai nghiệm phân biệt x1x2; Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên thì: x1n + x2n và x1n+1 + x2n +1 đều là các số nguyên và chúng nguyên tố cùng nhau. Bài 242 Cho phương trình bậc hai: x2 – 2[m + 1]x + 4m = 0 a] Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. b] Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm số còn lại. Bài 243 Cho phương trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Có hai nghiệm x1, x2. Với giá trị nào của m, biểu thức R = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 244 Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn các hệ thức: 4x1x2 + 4 = 5[x1 + x2] [1] [x1 – 1][x2 – 1] = [2] Bài 245 Cho a ạ 0. Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phương trình X2 – ax - Chứng minh rằng: x14 + x24 Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào. Bài 246 Cho a ạ 0, giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 – ax – = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x14 + x24 Bài 247 Cho phương trình bậc 2: x2 + 2[a + 3]x + 4[a + 3] = 0 a]Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. b] Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1 Bài 248 Cho phương trình: x2–ax+a–1 = 0 có hai nghiệm là x1 ,x2. a] Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: M = b] Tìm giá trị của a để: P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 249 Cho phương trình: x2 – [2m + 1]x + m2 + m – 1 = 0 a] Chứng minh rằng, phương trình có nghiệm với mọi m b] Chứng minh rằng, có một hệ thức giữa hai nghiệm không thuộc vào m. Bài 250 Cho phương trình: ax2 + [ab + 1]x + b = 0 a] Chứng minh rằng với mọi a,b phương trình đã cho đều có nghiệm. b] Muốn cho phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng thì a và b phải bẳng bao nhiêu? Bài 251 Cho phương trình : x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 [1] a] Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m b] Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m c] Tìm m để phương trình [1] có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: Bài 252 Cho phương trình : [m – 1]x2 – 2[m + 1]x + m = 0 [1] a] Giải và biện luận phương trình [1] theo m b] Khi phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt x1, x2: * Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m * Tìm m sao cho Bài 253 Cho phương trình : x2 – 2x – [m – 1][m – 3] = 0 a] Chứng minh rằng: phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m b] Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm. c] Gọi x1, x2 là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức E = [x1 + 1]x2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 254 Cho phương trình : x2 + 2[m + 2]x – 4m – 12 = 0 a] Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m. b] Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = x22. Bài 255 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 3x + a = 0 Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phương trình : t2 – 12t + b = 0 Cho biết : . Tính a và b