Chuyên de phương trình, bất phương trình vô tỉ
|
SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG GV : NGUYỄN TRƯỜNG SƠN CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Các phương pháp giải PT vô tỉ Phương pháp lũy thừa. Phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp biến đổi thành tích. Phương pháp nhân liên hợp Phương pháp đánh giá. Phương pháp hàm số. Các phương pháp giải BPT vô tỉ Phương pháp lũy thừa. Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp nhân liên hợp Phương pháp đánh giá. Tài liệu được biên soạn bởi : Nguyễn Trường Sơn Số điện thoại : 0988.503.138 Gmail : BÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp lũy thừa. Nêu các dạng phương trình cơ bản. Bài 1 Giải các phương trình Bài 2 Giải phương trình Bài 3 Giải phương trình (Phải thử , loại nghiệm) Bài 4 Giải phương trình . Bình phương 2 lần. nghiệm Bình phương 2 lần. nghiệm Phương pháp đặt ẩn phụ. Dạng 1 : Phương trình có chứa Bài 1 Giải phương trình. Nghiệm Bài 2 Tìm để phương trình có nghiệm Bài 3 Giải phương trình : Dạng 2 : Phương trình có chứa Bài 4 Giải phương trình Nghiệm Bài 5 (B – 2011) Giải phương trình : Đặt . Nghiệm Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Bài 7 Giải phương trình Đặt nghiệm Nghiệm Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ. Bài 8 Giải phương trình. bình phương, chia Đặt thử lại chia cho Nghiệm Chia 2 vế cho và đặt Bài 9 Giải phương trình (Thi thử ninh giang 2013) Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được Chuyển vế, bình phương ta được : Chia 2 vế cho Nghiệm Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp. Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba. Bài 10 Đặt Đặt Phương trình đã cho có dạng trong đó căn thường Cách 1 : Đặt . PT nghiệm : Cách 2 : Đặt , thay vào PT ta được (Thi thử NG 2013) Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được Nghiệm : Chuyển vế, bình phương ta được : Bài 11. Giải phương trình : Điều kiện : . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . nên . .Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . Bài 12. Giải phương trình : . Đặt . ta có : . Bài 13 Giải phương trình : Đặt ta được phương trình : Chú ý có thể sửa lại đề bài thành : Bài tập tương tự : Bài tập tương tự : Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Bài 14 Giải phương trình Đặt Thay vào phương trình có : Thay (1) vào (2) và rút gọn được Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình) (A – 2009) Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt. Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt) PT vô nghiệm. Đặt Đặt Đặt Phương pháp biến đổi thành tích. Bài 1 Giải phương trình Phương trình HD Bài 2 Giải phương trình Phương pháp nhân liên hợp. Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành và có thể vô nghiệm hoặc giải được. Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị để trong căn là bình phương hoặc lập phương. Bài 1 (Khối B 2010) Giải phương trình : PT . Nghiệm duy nhất Giải phương trình : Nghiệm duy nhất PT (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình : ĐK: . Pt 0,25 0,25 TH 1. (TMPT) 0,25 TH 2. pt Do nên . Đẳng thức xảy ra Vậy phương trình có 2 nghiệm là và 5 0,25 Bài 2 Giải phương trình Nghiệm . Nghiệm duy nhất Nhận xét để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm. Nghiệm vô nghiệm. Bài 3 Giải phương trình : . Ta có Nhân với biểu thức liên hợp ta được : . Từ phương trình . Bài 4. Giải phương trình : Điều kiện : . Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Bài 7 Giải phương trình . Bài 8 Giải phương trình : Phương pháp đánh giá. Bài 1 Giải các PT sau : Nghiệm Nghiệm Nghiệm Bài 2 Giải PT sau : VT : VP. Nghiệm Nghiệm Bài 4. Giải phương trình: (1) Mà : và . Do đó ta có: . Bài 5 Giải phương trình Bình phương 2 vế ta được : . Áp dụng bđt bunhia : VT . Áp dụng cosi . Nghiệm . Phương pháp hàm số. Cơ sở phương pháp : Để giải phương trình : ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến. Xét hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà có . Bài tập. Bài 1 Giải các phương trình. . . Chuyển vế, nghiệm duy nhất . . Chuyển vế, nghiệm duy nhất . Bài 2 (CĐ – 2012) Giải phương trình Nhân 2 vế với 2 và biến đổi phương trình Xét hàm số Hàm số luôn đồng biến. Từ phương trình có Bài tập tương tự : Bài 3 Tìm m để phương trình có nghiệm : , vẽ bảng biến thiên Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm : Cô lập tham số, Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm : Bài 6 (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm : Cô lập tham số Bài 7 (B – 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm : Đặt ẩn phụ : Bài 8 (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba. Bài 9 Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 10 Tìm m để phương trình có nghiệm BÀI 2 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản : Dạng 1 : Dạng 2 : Dạng 3 : Bài 1 Giải bất phương trình : Kết quả : Kết quả : Bài 2 Giải bất phương trình : Bài 3 Giải bất phương trình : Bài 4 Giải bất phương trình : Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 1 Giải bất phương trình : Bài 2 Giải bất phương trình : Bài 3 (B – 2012) Giải bất phương trình Chia 2 vế cho và đặt Bài 4 (Thử GL – 2013) Giải BPT : Điều kiện : . Bình phương 2 vế và rút gọn ta được : Chia 2 vế cho và đặt . Nghiệm Bài 5 Giải bất phương trình Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được Chuyển vế, bình phương ta được : Nghiệm Bài 6 (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT - Điều kiện : . Đặt - Bpt trở thành 0,25 TH 1. . Thỏa mãn BPT TH 2. . Chia hai vế cho ta được . Đặt và giải BPT ta được 0,25 0,25 . Kết hợp ta được . Vậy tập nghiệm của BPT là S = 0,25 Cách 2 : Có thể biến đổi BPT về dạng tích Bài tập tương tự : Phương pháp nhân liên hợp. Bài 1 Giải bất phương trình : Nghiệm Bài 2 Giải bất phương trình : Giải phương trình :. Nhẩm nghiệm BPT . Trong ngoặc Nghiệm Giải phương trình : Nhẩm nghiệm BPT Phương pháp đánh giá. Bài 1 Giải các PT sau : Nghiệm Nghiệm Nghiệm Bài 2 Giải PT sau : VT : VP Bài 5 (A – 2010) Giải BPT : Ta có nên . Mặt khác ta lại có : Từ đó . Dấu bằng khi
Chuyên đề: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Định nghĩa: Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức. Các phương pháp giải: - Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ cũng tương tự như phương trình vô tỷ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cũng có điểm khác biệt. - Giải bất phương trình vô tỷ là một trong những bài toán không có công thức giải tổng quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán. - Việc phân ra thành các phương pháp giải riêng biệt chỉ mang tính chất tương đối, tùy quan điểm từng người làm toán. - Mỗi bất phương trình có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau nên người làm toán cần cân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu quả. Mặt khác, có những bất phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải. Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề: Bất phương trình vô tỷ, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Chuyên đề: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Định nghĩa: Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức. Các phương pháp giải: Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ cũng tương tự như phương trình vô tỷ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cũng có điểm khác biệt. Giải bất phương trình vô tỷ là một trong những bài toán không có công thức giải tổng quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán. Việc phân ra thành các phương pháp giải riêng biệt chỉ mang tính chất tương đối, tùy quan điểm từng người làm toán. Mỗi bất phương trình có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau nên người làm toán cần cân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu quả. Mặt khác, có những bất phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải. I. Phương pháp biến đổi tương đương: Nâng lên lũy thừa, đưa về bất phương trình hoặc hệ bất phương trình đại số hữu tỉ. Dạng 1. < g(x) (*) (Chỉ xét n chẵn) (*) Dạng 3. Dạng 2. g(x) (*) (n chẵn) (*) Dạng 4. Dạng 5. Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau Hướng dẫn Vậy tập nghiệm là Vậy tập nghiệm là Ví dụ 2. Giải bất phương trình: > x – 5 Giải. Bất phương trình Ví dụ 2. Giải bất phương trình: < 3 Giải. Nếu x > 0: bpt > – 3x + 1 Nếu x < 0: bpt < 1 – 3x Ví dụ 3. Giải và biện luận bất phương trình: m(x – 2) (*) Giải. Xét các trường hợp của tham số m: +) Với m = 0: Khi đó (*) 0 – 4 0 x (; – 2] [2; ) +) Với m > 0: Khi đó (*) sau đó xét tiếp 0 1 +) Với m 0 Kết luận nghiệm theo các trường hợp của m. Chú ý. Trong trường hợp bất phương trình cần giải chứa nhiều dấu căn ta cần biến đổi đưa về dạng (I) hoặc (II). Ví dụ 4. Giải bất phương trình: + < (*) Giải. Điều kiện: x 2 Với điều kiện đó (*) x + 1 + x – 2 + 2 < x + 3 < (– x + 4) Nhận xét. Phương pháp này ngắn gọn nhưng trong nhiều trường hợp phép nâng lũy thừa sẽ dẫn đến những bất phương trình đại số bậc cao không giải được. Khi đó ta phải áp dụng phương pháp khác. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 1. x 2. < x – m 3. – > Bài 2. Giải các bất phương trình: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. II. Phương pháp đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa): Ví dụ 1. Giải bất phương trình: + 2 3x + 4 (*) Giải. Ta có (*) – 3x + 11 + 2 – 15 0 Đặt t = . Ví dụ 2. Giải bất phương trình: x + < x (1) trong đoạn [0; 1] Giải. Trong đoạn [0; 1], cả hai vế không âm nên: Ta có: (1) 1 + 2x < (1 – ) (2) Đặt t = x, 0 t Khi đó (2) trở thành: – 2t – 1 > 0 So sánh với điều kiện 0 t ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải bất phương trình: ( + 1) + ( + 1) + 3x > 0 (1) Giải. TXĐ: x – 1 - Nếu x 0: VT 2 > 0 bất phương trình nghiệm đúng x 0 - Nếu – 1 x 0 Đặt t = , ta được: – 3t + 2 > 0 Nhận xét x [– 1; 0) t < 1 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là – 1 x Ví dụ 4. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: + 2 Giải. - Nếu a < 0: bất phương trình vô nghiệm - Nếu a = 0: bất phương trình có nghiệm x = 0 - Nếu a > 0: Điều kiện 0 1 Đặt = cosy, . Ta được: + – 2 2a + 2asiny 4 siny (*) Để (*) có nghiệm ta phải có 4 – 2a 0 0 < a 2 Kết luận: điều kiện của a là 0 a 2 Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các bất phương trình: Bài 2. Tìm a để bất phương trình sau đúng với x [– 2; 4]: – 4 – 2x + a – 18 III. Phương pháp đánh giá (dùng đạo hàm, bất đẳng thức): Nhận xét. Xét hàm số f(x), x D. Đặt M = , m = . Khi đó : f(x) có nghiệm x D M f(x) đúng với x D m f(x) có nghiệm x D m f(x) đúng với x D M Ví dụ 1. Giải bất phương trình: Giải. Xét f(x) = + – 9, x Khi đó: f ’(x) = + > 0, x > Mà f(11) = 0, < 0 f(x) < 0 x < 11 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 11. Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau: Hướng dẫn ĐK: Khi đó: Vậy tập nghiệm của bpt là: ĐK: Ta có: Khi đó bpt tương đương với: Mặt khác, theo bdt Bunhiacopski ta có Dấu bằng xảy ra khi: Ví dụ 2. Tim m để bất phương trình (*) có nghiệm. Giải. Đk: – 3 x 6 Đặt , u [3; 3] Khi đó (*) trở thành: + u + m Xét f(u) = + u + , u [3; 3] Mà = f(3) = Vậy để bất phương trình đã cho có nghiệm ta phải có m . Chú ý. Ngoài ra ta có thể dùng bất đẳng thức để đánh giá. Ví dụ 3. Giải bất phương trình: + 2 (*) Giải. Đk: Nếu x < 1: (*) đúng. Nếu x = 1: (*) đúng. Nếu x = 4: (*) đúng. Nếu x > 4: (*) vô nghiệm. Vậy nghiệm của (*) là x (; 1] {4}. Ví dụ 4. Giải bất phương trình: Giải. Đk: x 1 Ta có: x 1 (Theo Bunhia) Do đó: Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 5. Bài tập áp dụng: 1. Giải bất phương trình: + < 4x – 9 + 2 2. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: a. mx – m + 1 b. x – m > m + 1 3. Tìm a để bất phương trình – m vô nghiệm. IV. Phương pháp đồ thị: Giả sử phải tìm x thỏa mãn: f(x) < g(x) ta làm như sau: + Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) trên cùng một hệ trục tọa độ + Tìm phần đồ thị y = f(x) nằm dưới đồ thị y = g(x), chiếu lên trục Ox ta được tập nghiệm. Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: – > m Giải. Đặt u = 0, v = 0 Ta được: Nhìn trên đồ thị ta thấy điều kiện của m là m < . Ví dụ 2. Cho bất phương trình: – 6x + m + 2 Tìm m để tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn với độ dài l thỏa mãn: 2 l 4. Giải. Xét đồ thị hàm số y = , y 0. Ta có: Khi đó đồ thị là nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành với tâm tại (3; 0), bán kính bằng 3. Còn đồ thị hàm y = – 6x + m + 2 là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 3 Độ dài đoạn nghiệm l = 2 parabol đi qua điểm (2; 2) 2 = 4 – 12 + m + 2 m = 2 + 6 Độ dài đoạn nghiệm l = 4 parabol đi qua điểm (1; ) = 1 – 6 + m + 2 m = 3 + Vậy điều kiện của m là 3 + m 6 + 2 Bài tập áp dụng: 1. Cho bất phương trình – 2x + 5 a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm. b. Tìm m để tập nghiệm là một đoạn với độ dài là 2. V. Phương pháp điều kiện cần và đủ: Phương pháp này thường áp dụng để tìm điều kiện của tham số sao cho tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn một tính chất T nào đấy. Gồm 2 bước: Bước 1: Nếu tập nghiệm thỏa mãn tính chất T thì tham số phải thuộc tập nào đó (đk cần). Bước 2: Loại những giá trị của tham số trong làm cho nghiệm của bất phương trình không thỏa mãn tính chất T (đk đủ). Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình – 2x + m (*) nghiệm đúng x [– 4; 6]. Giải. +) ĐK cần: (*) nghiệm đúng x [– 4; 6] (*) nghiệm đúng với x = 1 m 6. +) ĐK đủ: m 6 ta có VT 5, x [– 4; 6] VP 5, x [– 4; 6] Vậy điều kiện cần và đủ của m là m 6 Bài tập áp dụng: Tìm a để bất phương trình x + > 1 nghiệm đúng VI. Luyện tập: Bài 1. Giải bất phương trình: > 2 + Giải. Đk: – 2 x 4 Xét f(x) = – – 2 Khi đó: f ’(x) 0, x (– 2; 4) Mà f(1) = 0 f(x) > 0 4 x > 1 Bài 2. Giải bất phương trình: < 2x + 9 Giải. Đk: (1) Với điều kiện trên ta có: = = 2x + 2 + Vậy bất phương trình đã cho có thể viết thành < hay x < Kết hợp với (1) ta được tập nghiệm là: Bài tập áp dụng: Giải các bất phương trình a. – 2 > b. x + > c. + – + 4x – 6 = 0. (ĐH GTVT CSII 2000) Bài toán chứa tham số Một số chú ý Bài 1. Giải và biện luận bất phương trình: Hướng dẫn: Đặt , ta có TH 1. Nếu Do đó nghiệm của bpt là: TH 2. Nếu . Khi đó Xét hai khả năng Nếu . Lập bảng xét dấu của f(x) ta được Nếu . Lập bảng xét dấu của f(x) ta được Kết luận Với Với Với Bài 2. Cho bất phương trình Xác định m để: Bất phương trình vô nghiệm Bất phương trình có đúng một nghiệm Hướng dẫn Để bpt vô nghiệm khi và chỉ khi Để bpt có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi Bài 3. Tìm m để các bpt sau vô nghiệm (1) (2) Hướng dẫn Bpt (1) vô nghiệm khi với mọi x Xét Xét File đính kèm:
|
