Đề bài
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[3x - y - 3 = 0\]. Viết phương trình đường thẳng \[{d_1}\] là ảnh của \[d\] qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm \[I\left[ { - 1;2} \right]\] và phép quay tâm \[O\] góc quay \[ - 90^\circ \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm \[I\] là \[\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_I} - x\\y' = 2{y_I} - y\end{array} \right.\].
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm \[O\] góc quay \[ - {90^0}\] biến điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành \[M'\left[ {x';y'} \right]\] là \[\left\{ \begin{array}{l}x' = y\\y' = - x\end{array} \right.\].
Lời giải chi tiết
Gọi M[x;y] bất kì thuộc d.
Giả sử \[{M_1}[x_1;y_1] = {D_I}\left[ M \right]\] và \[M'[x';y'] = {Q_{\left[ {O; - {{90}^0}} \right]}}\left[ {{M_1}} \right]\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} =2x_I-x= - 2 - x\\{y_1} = 2y_I-y=4 - y\end{array} \right.\]
và \[\left\{ \begin{array}{l}x' = {y_1}\\y' = - {x_1}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - y\\y' = 2 + x\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=4 - x'\\x = - 2 + y'\end{array} \right.\] \[\Rightarrow M\left[ { - 2 + y';4 - x'} \right]\]
Thế \[\left[ {x;y} \right]\] theo \[\left[ {x';y'} \right]\] vào phương trình \[d\] ta có: \[3\left[ {y' - 2} \right] - \left[ {4 - x'} \right] - 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow x' + 3y' - 13 = 0\].
Vậy phương trình \[d'\] là \[x + 3y - 13 = 0\].