Đề bài
Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và \[\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = 60^\circ ,\widehat {BOC} = 90^\circ \]
a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông và OA BC
b. Tìm đường vuông góc chung IJ của OA và BC ; tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
c. Chứng minh rằng hai mặt phẳng [ABC] và [OBC] vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
a. Vì \[\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = 60^\circ \]
OA = OB = OC = a
Nên AB = AC = a
Suy ra ΔABC = ΔOBC
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A
Gọi J là trung điểm của BC thì OJ BC, AJ BC nên OA BC.
Cách khác:
b. Gọi I là trung điểm của OA, do OJ = AJ nên JI OA, mà JI BC, vậy IJ là đường vuông góc chung của OA và BC.
\[I{J^2} = O{J^2} - O{I^2} = {\left[ {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} - {\left[ {{a \over 2}} \right]^2} = {{{a^2}} \over 4}.\]
Suy ra : d[OA ; BC] = \[{a \over 2}\]
c. Từ các kết quả trên ta có : OJ BC, AJ BC, IJ = \[{1 \over 2}OA\]
Vậy góc giữa mp[OBC] và mp[ABC] bằng góc \[\widehat {OJA}\] và \[\widehat {OJA} = 90^\circ ,\] do đó mp[OBC] mp[ABC].