Đề bài
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[\displaystyle{u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\] với mọi\[\displaystylen 1\]
Chứng minh rằng [un] là một dãy số không đổi [dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính một vài số hạng đầu, nhận xét các số hạng của dãy.
- Chứng minh nhận xét bằng phương pháp quy nạp.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_2} = \frac{2}{{u_1^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\
{u_3} = \frac{2}{{u_2^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\
...
\end{array}\]
Do đó, dự đoán\[\displaystyleu_n= 1\] [1]\[\displaystyle n \in \mathbb N^*\].
Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:
+] Rõ ràng [1] đúng với\[\displaystylen = 1\]
+] Giả sử [1] đúng với\[\displaystylen = k\], tức là ta có\[\displaystyleu_k= 1\]
+] Ta chứng minh [1] đúng với\[\displaystylen = k + 1\].
Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :
\[\displaystyle{u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\]
Vậy [1] đúng với\[\displaystylen = k + 1\], do đó [1] đúng với mọi\[\displaystylen \in \mathbb N^*\]