Định lý 1:
Trong một đường tròn:
- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lý 2:
Trong hai dây của một đường tròn:
- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
- Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Bài tập vận dụng:
Bài 1:Cho hình vẽ sau, trong đó \[MN=PQ.\] Chứng minh rằng:
a, \[AE=AF\]
b, \[AN=AQ.\]
Giải.
a] Vì \[MN=PQ\] nên \[OE=OF\] [ theo định lý liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây]
Xét tam giác vuông \[AOE\] và tam giác vuông \[AOF\] có:
\[OE=OF\][ chứng minh trên].
\[AO\] chung.
Suy ra \[\Delta AOE=\Delta AOF\] [ cạnh huyền-cạnh góc vuông]
\[\Rightarrow AE=AF\][1].
b] Vì \[OE\bot MN\] nên \[ME=NE\] [tính chất đường kính và dây cung]
Mà \[MN=PQ\] suy ra \[ME=NE=PF=QF.\][2]
Từ [1] và [2] suy ra \[AN=AQ.\]
Bài 2:Cho đường tròn [O], dây AB và dây CD, ABK của các đường thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn [O;OK] cắt KA và KC tại M và N.Chứng minh KN>KM
Giải.
Kẻ \[OI\bot AB,\text{ }OE\bot CD.\]
Xét đường tròn \[\left[ O;OA \right]\] có: \[AB\] và \[CD\] là dây cung, CD>AB suy ra OI>OE.
Xét đường tròn \[\left[ O;OK \right]\] có \[KN\] và \[KM\] là hai dây cung và \[OI>OE\] \[\Rightarrow ~KM\text{ }