Lấy điểm e trên mn sao cho be song song với am chứng minh he cm

Trong đề thi tuyển sinh vào 10 luôn có một bài toán hình học 9, có thể là chứng minh các hệ thức hình học về tổng, hiệu của hai đoạn thẳng, hoặc của hai góc hoặc hệ thức các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Sau đây, cô sẽ hướng dẫn các em phương pháp chứng minh dạng bài này một cách chi tiết và giải các ví dụ cụ thể.

A.Kiến thức hình học 9 – ôn thi vào lớp 10

1. Hình học 9 – Chứng minh tổng (hoặc hiệu) hai đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng thứ ba.

Các em có thể:

#1. Chia đoạn thẳng lớn nhất thành hai phần, sao cho một phần bằng đoạn thẳng thứ nhất và chứng minh phần còn lại bằng đoạn thẳng thứ hai.

#2. Dựng tổng của hai đoạn thẳng cho trước rồi chứng minh tổng này bằng đoạn thẳng thứ ba.

2. Hình học 9 – Chứng minh tổng (hoặc hiệu) hai góc bằng góc thứ ba.

#1. Ta có thể làm tương tự như trên, chia góc lớn nhất thành hai phần, sao cho một phần bằng góc thứ nhất và chứng minh phần còn lại bằng góc thứ hai.

#2. Dùng định lí về góc nội tiếp: Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

3. Hình học 9 – Chứng minh hai hệ thức hình học bằng nhau:

#1. Dùng định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì tạo ra những cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

#2. Hai tam giác đồng dạng thì các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, các cặp góc tương ứng bằng nhau.

#3. Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

#4. Dùng tính chất: Đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D.

Ta có: MA.MB = MC.MD

#5. Dùng tính chất: Nếu từ một điểm M nằm ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB thì MT² = MA. MB

B. Ví dụ – Hình học 9 chứng minh các hệ thức hình học

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng MB + MC = MA.

Giải:

Chúng ta cùng phân tích để tìm lời giải nhé!

Để chứng minh AM = BM + CM, ta có hai ý tưởng:

1) Tách AM thành hai đoạn, đoạn thứ nhất bằng BM và chứng minh đoạn thứ hai bằng CM.

2) Có thể dựng một đoạn thẳng bằng BM + CM rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng AM.

Giờ ta làm theo hai cách:

Cách 1: Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB. Ta sẽ đi chứng minh AD = MC.

Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể chứng minh hai tam giác bằng nhau.

Sơ đồ chứng minh

Tam giác BMD có:

MD = MB (cách dựng)

∠BMD = ∠BCA = 60° (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

⇒ Δ BMD đều ⇒ BD = BM;  ∠MBD = 60° 

Xét Δ ABD và ΔCBM có:

• AB = BC 
• ∠B1 = ∠B3 ( = 60° − ∠B2) 
• BD = BM

⇒ Δ ABD = ΔCBM (c.g.c) ⇒ AD = MC.

Vậy MB + MC = MD + AD = MA.

Cách 2: 

Sơ đồ chứng minh

Trên tia đối của tia MB, lấy điểm E sao cho ME = MC.

Tứ giác ABMC nội tiếp nên ta có ∠BAC = 60° nên ∠BMC = 120°

⇒ ∠CME = 60° 

⇒ Δ CME đều ⇒ CM = CE và ∠C3 = 60º.

Xét Δ ACM và Δ BCE có:

• AC = BC
• ∠ACM = ∠BCE ( = 60°  + ∠C2)
• CM = CE (cmt)

suy ra Δ ACM và Δ BCE (c.g.c) 

⇒ AM = BE = BM + ME hay AM = BM + MC.

Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm M và N.

a) Chứng minh: BEDC nội tiếp

b) Chứng minh ∠DEA = ∠ACB.

c) Chứng minh DE song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Chứng minh AO là phân giác của góc MAN.

e) Chứng minh rằng AM² = AE.AB

Pro TIP >>> Khi làm bài hình học 9: Ta nên vẽ hình – ghi giả thiết kết luận cho dễ nhìn và dễ phân tích cái đã cho và cái cần tìm.

Ôn tập hình học 9

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp rất phổ biến trong các bài toán hình học 9, các em có thể tham khảo các cách chứng minh tứ giác nội tiếp tại đây.

Trong bài này, ta nhìn hình thấy tứ giác BEDC có D và E cùng nhìn BC một góc 90 độ: (góc BEC = góc BDC = 90 độ) nên ta suy ra tứ giác BEDC là hình bình hành.

b) Đây là một câu chứng minh hai góc bằng nhau. Ta phải chứng minh: ∠DEA = ∠ACB

Xét ∠ACB trước nhé!

 ∠ACB là một góc của tứ giác nội tiếp BEDC (ta vừa chứng minh ở câu a) nên suy ra ∠ACB + ∠BED = 180º  <<< nhớ lại tứ giác nội tiếp có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180º).

Xét đến ∠DEA, các em thấy điều gì?

Tại điểm E, ∠DEA và ∠BED là hai góc kề bù nên ∠DEA  + ∠BED = 180º.

Như vậy, hai góc DEA và ACB đều bù với ∠BED, nên ∠ACB = ∠DEA

Các bài toán hình học 9 rất hay có dạng bài chứng minh hai góc bằng nhau, chúng ta cần xét và phân tích từng góc, các góc liên quan để tìm ra manh mối.

c) Chứng minh DE song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O). Đây là bài toán hình học 9 rất cơ bản: chứng minh hai đường thẳng song song.

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể chỉ ra: 2 góc so le trong bằng nhau, 2 góc đồng vị bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía có tổng bằng 180 độ.

Bài này ta cần kẻ xy là tiếp tuyến với (O) tại điểm A. Ta thấy nếu DE // xy thì hai góc đồng vị là xAB và AED phải bằng nhau. Vậy để chứng minh DE//xy ta có thể dựa vào hai góc đồng vị này.

Thật vậy. 

∠xAB là góc tạo bởi tiếp tuyến với dây cung nên ∠xAB = nửa số đo cung AB = ∠ACB (góc nội tiếp chắn cung AB)

Mà ∠ACB = ∠DEA (ta vừa chứng minh ở câu b). Vậy ∠xAB =∠DEA

Và 2 góc này ở vị trí so le trong nên ta suy ra xy // DE.

d) Chứng minh AO là phân giác của MAN.

Trong giải hình học 9, cần huy động tất cả kiến thức hình học của cả cấp 2. Muốn chứng minh AO là phân giác của ∠MAN, ta có thể dùng cách chứng minh góc MAO = NAO hoặc chứng minh AO là trung trực của một tam giác cân

Ta thấy rằng: xy là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên xy ⊥ OA

Mà xy // MN (đã chứng minh ở câu c). Vì vậy suy ra OA ⊥ MN. 

Ta sử dụng tính chất trong chương trình hình học 9: trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.

OA là bán kính vuông góc với dây cung MN nên sẽ đi qua trung điểm MN. Vậy OA là đường trung trực của MN. Suy ra AM = AN => ΔAMN cân tại A

Trong tam giác AMN cân tại A, có OA là trung trực thì đồng thời sẽ là đường phân giác góc MAN.

e) Chứng minh AM² = AE.AB.

Đây là dạng bài chứng minh hệ thức hình học bằng nhau trong các bài hình học 9. Thông thường, ta có thể dùng tính chất hai tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Muốn tìm ra cặp tam giác đông dạng nào thì ta dựa vào điều ta cần chứng minh.

Pro TIP >>> Viết lại AM² = AE.AB thành tỉ lệ các cặp cạnh  . Như vậy, có thể xét cặp tam giác AMB và AME đúng không?

Xét ΔAME  và Δ AMB có: 

∠MBA = ∠AME (AM = AN cmt)

∠A1 : góc chung

⇒ ΔAME  ∼ Δ AMB (g.g)    ⇒        ⇒  AM² = AE.AB.

Xem thêm: Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10

Học Toán hình bằng tiếng Anh tại đây.

>>> Học Toán online với giáo viên Toán liên hệ: 035 3150072