Phương pháp hệ số bất định là gì

Phương pháp hệ số bất định được sử dụng nhiều trong chứng minh bất đẳng đẳng thức. Tuy nhiên nhiều học sinh chưa hiểu rõ về phương pháp này.

Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội cùng các em đi tìm hiểu cách áp dụng phương pháp hệ số bất định vào làm một bài toán chứng minh BĐT qua các ví dụ.

1. Ví dụ mở đầu

Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ a+b+c=3$. Chứng minh rằng$ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{\text{2}\left[ {{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]}{3}\ge 5$

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

$ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 5$

Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây

$ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

$ \displaystyle \frac{{{\left[ a-1 \right]}^{2}}\left[ 2{{a}^{2}}+6a+3 \right]}{3{{a}^{2}}}\ge 0$

Hiển nhiên đúng với a là số thực dương.

Áp dụng tương tự ta được $ \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2b}{3};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2c}{3}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

$ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 7-\frac{2\left[ a+b+c \right]}{3}=5$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=c=1$.

Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta.

Bài toán trên các biến trong cả hai vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức sau

$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{\left[ a-1 \right]\left[ a+1 \right]\left[ 2{{a}^{2}}-3 \right]}{3{{a}^{2}}}\ge 0$

Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với a thực dương.

Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện .

Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng

$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+ma+n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]$

Trong đó m và n là các hệ số chưa xác định.

Thiết lập tương tự với các biến b và c ta được

$ \displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mb+n;\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mc+n$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có

$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}}{3}\ge 5+m\left[ a+b+c \right]+3n=5+3\left[ m+n \right]$

Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện $ \displaystyle m+n=0\Leftrightarrow n=-m$. Thế vào [1] dẫn đến

$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left[ a-1 \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]$

Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức [2] là đúng. Chú ý đẳng thức xẩy ra tại $ a=b=c=1$ nên ta cần xác định m sao cho

$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left[ a-1 \right]\Leftrightarrow \left[ a-1 \right]\left[ \frac{\left[ a+1 \right]\left[ 2{{a}^{2}}-3 \right]}{3{{a}^{2}}}-m \right]\ge 0$

Khi cho $ a=1$ thì ta có $ \displaystyle \frac{\left[ a+1 \right]\left[ 2{{a}^{2}}-3 \right]}{3{{a}^{2}}}=-\frac{2}{3}$ từ đó ta dự đoán rằng $ \displaystyle m=-\frac{2}{3}$ để tạo thành đại lượng bình phương $ {{\left[ a-1 \right]}^{2}}$ trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ

$ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$

Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ a+b+c=3$. Chứng minh rằng:$ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}+\frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}+\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le 3$

Ta đi chứng minh bất đẳng thức $ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b$

Thật vậy, dễ dàng chứng minh được $ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge ab\left[ a+b \right]$, ta biến đổi tương đương bất đẳng thức bên như sau

$ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge ab\left[ a+b \right]\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le 6{{a}^{3}}-ab\left[ a+b \right]\\\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le a\left[ 6{{a}^{2}}-ab-{{b}^{2}} \right]\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le a\left[ 2a-b \right]\left[ 3a+b \right]\\\Leftrightarrow \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b\end{array}$

Hoàn toàn tương tự ta được $ \frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}\le 2b-c;\,\,\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le 2c-a$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}+\frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}+\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le a+b+c=3$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi $ a=b=c=1$.

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên, ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức $ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le ma+nb$ đúng, với $ m+n=1\Leftrightarrow n=1-m$.

Ta viết lại bất đẳng thức trên thành

$ \frac{\frac{5{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}-1}{\frac{a}{b}+\frac{3{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}\le \frac{ma}{b}+1-m\Leftrightarrow \frac{5{{t}^{3}}-1}{t+3{{t}^{2}}}\le m\left[ t-1 \right]+1$ với $ t=\frac{a}{b}$

Để ý đến đẳng thức xẩy ra tại $ a=b=c$ tức là xẩy ra tại $ t=1$, khi đó ta cần xác định m sao cho

$ \frac{5{{t}^{3}}-1}{t+3{{t}^{2}}}\le m\left[ t-1 \right]+1\Leftrightarrow \left[ t-1 \right]\left[ \frac{5{{t}^{2}}+2t+1}{t+3{{t}^{2}}}-m \right]\le 0$

Cho $ t=1$ thì ta được $ \frac{5{{t}^{2}}+2t+1}{t+3{{t}^{2}}}=2$ nên ta chọn $ m=2$ và từ đó ta được $ n=-1$. Khi này ta đi chứng minh bất đẳng thức $ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b$.

Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” như vậy. Phải chăng đó là dự đoán một cách may mắn. Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Câu trả lời là hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo một qui luật của nó. Ở các phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề này theo chiều hướng khá mới mẻ. Kỹ thuật này có tên là U.C.T, là viết tắt của 3 chữ cái đầu của cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique hay còn gọi là kỹ thuật hệ số bất định. Đây là một kỹ thuật cơ bản và là nền tảng quan trọng trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó.

2. Một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định

Có thể nói với phương pháp hệ số bất định ta có thể giải quyết được một lớp các bất đẳng thức mà ở đó các biến độc lập với nhau. Dưới đây là một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định.

Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ a+b+c=3$. Chứng minh rằng$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}+\frac{1}{{{b}^{2}}+c+a}+\frac{1}{{{c}^{2}}+a+b}\le 1$

Lời giải

Ở đây ta cần tìm m để bất đẳng thức dưới là đúng

$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}=\frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{1}{3}+m\left[ a-1 \right]\Leftrightarrow -\frac{a\left[ a-1 \right]}{3\left[ {{a}^{2}}-a+3 \right]}\le m\left[ a-1 \right]$

Tương tự như trên ta dự đoán rằng với $ \displaystyle m=-\frac{1}{9}$ thì bất đẳng thức phụ đúng. Thật vậy

$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{4}{9}-\frac{a}{9}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left[ a-1 \right]}^{2}}\left[ 3-a \right]}{3\left[ {{a}^{2}}-a+3 \right]}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left[ a-1 \right]}^{2}}\left[ b+c \right]}{3\left[ {{a}^{2}}-a+3 \right]}$

Hoàn toàn tương tự ta được

$ \displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}\le \frac{4}{9}-\frac{b}{9};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le \frac{4}{9}-\frac{c}{9}$

Cộng theo về các bất đẳng thức trên ta được

$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}+\frac{1}{{{b}^{2}}+c+a}+\frac{1}{{{c}^{2}}+a+b}\le \frac{4}{3}-\frac{a+b+c}{9}=1$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại $ a=b=c=1$.

Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ \displaystyle {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3$. Chứng minh rằng$ \displaystyle 4\left[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right]+5\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\ge 27$

Lời giải

Ta cần tìm hệ số m sao cho

$ \displaystyle \frac{4}{a}+5{{a}^{2}}\ge 9+m\left[ {{a}^{3}}-1 \right]\Leftrightarrow \frac{\left[ a-1 \right]\left[ 5{{a}^{2}}+5a-4 \right]}{a}\ge m\left[ a-1 \right]\left[ {{a}^{2}}+a+1 \right]$

Ta dễ dàng nhận ra đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c=1$.

Khi cho $ \displaystyle a=1$ thì ta có thể dự đoán rằng $ \displaystyle m=2$. Ta sẽ chứng minh rằng với $ \displaystyle m=2$ thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậy

$ \displaystyle \frac{4}{a}+5{{a}^{2}}\ge 7+2{{a}^{3}}\Leftrightarrow \frac{{{\left[ a-1 \right]}^{2}}\left[ -2{{a}^{2}}+a+4 \right]}{a}\ge 0$

Do $ \displaystyle a\le \sqrt[3]{3}\Rightarrow -2{{a}^{2}}+a+4\ge 0$. Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng.

Hoàn toàn tương tự ta được

$ \displaystyle \frac{4}{b}+5{{b}^{2}}\ge 7+2{{b}^{3}};\,\,\frac{4}{c}+5{{c}^{2}}\ge 7+2{{c}^{3}}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

$ \displaystyle 4\left[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right]+5\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\ge 21+2\left[ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right]=27$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c=1$

Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$. Chứng minh rằng$ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{4\left[ a+b+c \right]}{3}\ge 7$

Lời giải

Ta cần tìm hệ số m sao cho

$ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{4a}{3}\ge m\left[ {{a}^{2}}-1 \right]+\frac{7}{3}\Leftrightarrow 3m{{a}^{3}}-4{{a}^{2}}+\left[ 7-3m \right]a-3\le 0$

Dự đoán là đẳng thức xẩy ra tại $ \displaystyle a=b=c=1$, khi đó ta tìm được $ \displaystyle m=\frac{1}{6}$. Như vậy ta đi chứng minh bất đẳng thức

$ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{4a}{3}\ge \frac{1}{6}\left[ {{a}^{2}}-1 \right]+\frac{7}{3}\Leftrightarrow {{\left[ a-1 \right]}^{2}}\left[ 6-a \right]\ge 0$

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì từ $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$ ta được $ \displaystyle 0