Tập nghiệm của bất phương trình 2 4 3 3 0 x x x x là

I BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

A - LÝ THUYẾT

Phương pháp giải :

• Vân dụng định lí dấu tam thức bậc 2[định lí đảo dấu tam thức bậc 2 ]

• Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2

B - BÀI TẬP

Bài 1: Tìm a để bất pt : ax + 4> 0đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện |x |

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Bất phương trình toán học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN BÀI TP BT PHuchoaNG TRÌNH I -- BT PHuchoaNG TRÌNH A THuchoasacC A - LÝ THUYT Phương pháp giải : • Vân dụng ñịnh lí dấu tam thức bậc 2[ñịnh lí ñảo dấu tam thức bậc 2 ] • Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2 B - BÀI TP Bài 1: Tìm a ñể bất pt : ax 4 0+ > ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiện 4x < Bài giải : ðặt f[x] = ax +4 Ta có : [ ]4;4[ ] ax 4 0 ∈ −= + > ∀xf x [ 4] 0 4 4 0 1 [4] 0 4 4 0 1 − ≥ − + ≥ ≤   ⇔ ⇔ ⇔  ≥ + ≥ ≥ −   f a a f a a Vậy giá trị cần tìm là : 1 1a− ≤ ≤ Bài 2: Cho bpt : 2 2[ 4] [ 2] 1 0m x m x− + − + < [1] 1] Tìm m ñể bpt vô nghiệm 2] Tìm m ñể bpt có nghiệm x = 1 Bài giải : 1] TH1: 2 2 4 0 2 m m m = − − = ⇔  = • Với m = -2 : 1[1] 4 1 0 2 4 x x m⇔ − + ⇒ = − [ktm] • Với m = 2 : [1] 1 0⇔ < vô nghiệm 2⇒ =m thỏa mãn . TH2: 2m ≠ ± [1] vô nghiệm 2 2[ 4] [ 2] 1 0,⇔ − + − + ≥ ∀xm x m x 2 2 2 4 0 2 2 [ 2][3 10] 0[ 2] 4[ 4] 0  − >  ⇔ ⇔  − + ≥∆ = − − − ≤  m m m m mm m 2 2 10 310 2 23   ≤ − ⇔ ⇔ − ≤ ∪ ≥ >  m m m m m m Từ 2 trường hợp trên ta thấy giá trị cần tìm là : 10 2 3 m m≤ − ∪ ≥ 2] Bất phương trình [1] có một nghiệm x = 1 2 2 1 21 1 21[ 4].1 [ 2].1 1 0 5 0 2 2 − − − + ⇔ − + − + < ⇔ + − < ⇔ < ∀ Do ñó [1] 2 2 2 2 2 2 3[ 1] 2 4 [ 3] 1 0[2] 2 2[ 1] [ 2] 4 0[3]  − − + ≤ + − + − + ≥  ⇔ ⇔  + − ≤ − + − + + ≥   x x x mx x m x x mx x x x m x [1] ñúng với mọi x 2 [2] 2 [3] [ 3] 16 0 1 7 1 2 6 2[ 2] 16 0 ∆ = − − ≤ − ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤  − ≤ ≤∆ = + − ≤  m m m mm BÀI TP V NHÀ Bài 1: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiên : 2 1x− ≤ ≤ 2 [ 1] 2[ 1] 0m x m x x+ + − − > [1] Bài giải : 2[1] [ 2] 2 0[2]m m x m⇔ + − + + > ðặt f[x] = [m2 + m – 2 ]x + m + 2 Bài toán thỏa mãn: 2 2 2 2 3[ 2] 0 [ 2][ 2] 2 0 2 6 0 2 3 02[1] 0 2[ 2][1] 2 0 2 0 2 0  − > + − − + + > − − + > − < + >      f m m m m m m mf m m m m m m m Bài 2: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 22 1 0x x m− + − > Bài giải : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Do a = 1 > 0 Vậy bài toán thỏa mãn: 2 2 2' 1 1 0 2 0 2  < − ⇔ ∆ = − + < ⇔ − < ⇔  > m m m m Bài 3: Tìm a nhỏ nhất ñể bpt sau thỏa mãn [ ]0;1x∈∀ : 2 2 2[ 1] [ 1]a x x x x+ − ≤ + + [1] Bài giải : ðăt : 2 1t x x= + + = f[x] Lập bbt f[x] trên [0;1] Suy ra f[x] 1 3t⇒ ≤ ≤ 2 2 1;3 1;3[1] [ 2] 2 0 [2]      ∈ ∈⇔ − ≤ ∀ ⇔ − + ≥ ∀t ta t t t at a ðặt f[t] = t2 – at + 2a 2 8 0 2 8 0 [2] 1. [1] 0 1 9 1 2 2 2 8 0 1. [3] 0 3 2 2                      ∆ = − ≤ ∆ = − > ⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤ − = < ∆ = − > ≥ − = > a a a a f a b a a a a f b a a Suy ra a cần tìm là : a = -1 BÀI TP TUYN SINH Bài 1:Tìm a ñể hai bpt sau tương ñương :[ a-1].x – a + 3 > 0 [1] và [a+1].x – a + 2 >0 [2] Bài giải : TH1: a = 1± thay trực tiếp vào [1] và [2] thấy không tương ñương. TH2: a > 1 : 1 2 3 2[1] ; [2] 1 1 − − ⇔ > = ⇔ > = − + a a x x x x a a [1] 1 2[2] 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ = TH3: a < -1 : 1 2 [1] [2] x x x x ⇔ < ⇔ < ðể 1 2[1] [2] 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ = [ loại] TH4: -1 < a < 1 : [1] Và [2] không tương ñương Kết luận :a = 5 thỏa mãn bài toán . Bài 2: [ðHLHN]: Cho f[x] = 2x2 + x -2 . Giải BPT f[f[x]] < x [1] Bài giải : Vì f[f[x]] – x = f[f[x]] – f[x] +f[x] – x = [2f2[x] + f[x] -2] – [2x2 + x – 2] + f[x] – x = = 2[f2[x] – x2 ] + 2 [f[x] – x ] = 2 [f[x] – x ][f[x] + x +1] = 2[2x2 – 2][ 2x2 +2x-1] GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Vậy [1] 2 2 1 3 1 22[2 2][2 2 1] 0 1 3 1 2  − − < < − ⇔ − + − < ⇔  − + < ⇔  < − > ⇔ − + > Các tính chất : , , 1. 2. . 0 3. , 4. [ ]. 0 A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B + ≤ + ∀ + < + ⇔ < − ≥ − ∀ − > − ⇔ − > B - BÀI TP Bài 1:Giải các bpt sau : 2 2 2 2 2 1] 2 3 3 3 2] 3 2 2 5 43] 2 5 7 4 4] 1 4 − − ≤ − − + + > − + + > − ≤ − x x x x x x x x x x x x Bài giải : 2 2 2 2 2 3 3 3 6 0 3 2[1] 2 5 0 52 3 3 3 5 0  − − ≥ − + + − ≥ ≤ − ∪ ≥  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤   ≤ ≤ − − ≤ − − ≤    x x x x x x x x xx x x x x 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 5 2 0[2] 3 2 2 2 03 2 2 1 12 2 2 2 2  − + > −  − + > ⇔ − + > − ⇔ ⇔  − > − + < −    >  x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN [ ][ ]2 2 2 2[3] [2 5] [7 4 ] [2 5] [7 4 ] 0 [2 5] [7 4 ] [2 5] [7 4 ] 0 1[12 2 ][6 2] 0 [6 ][3 1] 0 6 3 ⇔ + > − ⇔ + − − > ⇔ + + − + − − > ⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < < x x x x x x x x x x x x x [4]. ðk: x 2≠ ± 2 2 2 2 2 2 2[4] 5 4 4 [ 5 4] [ 4] [8 5 ][2 5 ] 0 80 5 5 2 ⇔ − + ≤ − ⇔ − + ≤ − ⇔ − − ≤  ≤ ≤ ⇔   ≥  x x x x x x x x x x x Bài 2:Giải các bpt sau : 2 2 2 2 4 3 1] 1 2] 1 2 8 5 − + ≥ − ≤ − + + − x x x x x x x Bài giải: 1] Bảng xét dấu : x −∞ 0 +∞ 4 5 X2 – 4x + - + + X - 5 - - - + +] Xét : 0 4 5 x x ⇔ > Kết luận: 0 7 2 2 x x m ≤   ≤ ≤  B - BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : 2 2 2 2 1] 1 2 2] 1 4 2 1 3] 2 2 2 2 4] 3 3 9 2 − < − ≥ + + − ≤ − − − − > − x x x x x x x x x x x Bài giải : Kết quả : 1.] 1 2 1 2x− + < < + 2.] 0 1 x x ≤  ≥ 3.] 2 0 1 x x = −  ≤ ≤ 4.] GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 2 2 2 2 2 3 9 2 3 3 3 9 2 3 3 9 2 4 19 3 8 1 0 3 3 10 5 0 4 19 3 − + − < − ⇔ − < − + ⇔  − < − +  −  ⇔ ⇔  − +   x x x x x x x x x x x x x x x Bài 2: Giải các bpt sau : 2 2 4 21] 1 2 3 2] 1 1 3] [ 3][ 1] 5 [ 1] 11 ≤ − − ≤ + + − − ≤ + − x x x x x x x Bài giải : 1.ðặt : 2 , 0x t t= > . Ta ñược : 2 2 2 2 2 2 02 21 2 0 1 2 2 0  − ≤ − + − ≤ −≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤  − ≥ − + ≤  t t t tt t t t t t t t t t t t Vậy 2 1 1 0 1 0 x x x − ≤ ≤ < ≤ ⇔  ≠ 2.ðk : 1x ≠ − TH1 : 0≥x 2 2 2 2 3[2] 1 2 3 1 [2 3 ] [1 ] 1 1 38 14 3 0 4 2 − ⇔ ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ + + ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ x x x x x x x x x [tm] TH2: 0 1 x x − + − − < − − − ≤ − x x x x x x x x x x x Bài giải : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 1. 2 2 2 2 2[ 1] 0 1 1 1 1 0 1 1 3 2[ 1] [ 1] 2 3 0  − ≥ ≤ − ∪ ≥ = −  ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔   ≤ ≤  − ≤ + − − ≤ x x x x x x x x x x x . 2. 2 2 14[ 1] 0 54[ 5][3 4] 0 5 43 1 31 0 1 1 4[ 5][3 4] 16[ 1] 13 51 4 0  3 là nghiệm bpt +] Xét : 2 2 3x x≤ − ∪ ≤ < [ ] 2 22 2 3 03 0 4 3 4 0 4 3 33 3 13 132 2 6 13 0 63 6 Bat phuong trinh + >+ ≤  ⇔ − ≥ + ⇔ ∪  − ≥ − ≥ +  ≤ −≤ − > −  ⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ −  ≤ − ≥ + ≤ − < ≤ −   ∪ xx x x x x x x x x x x x x x Vậy kêt luận : 13 6 3 x x  ≤ −  ≥ BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 2 2 1] 2 1 8 2] 2 6 1 2 0 3] 6 5 8 2 4] 3 2 8 7 5] 2 1 − ≤ − − + − + > − + − > − + ≥ − + − + − + < x x x x x x x x x x x x x x Bài giải : 1. 2 2 88 0 1 1[1] 2 1 0 5 2 2 2 1 [8 ] 18 65 0 ≤  − ≥    ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤    − ≤ −  − + ≥ x x x x x x x x x 2. [ ] [ ]2 222 2 2 02 0[2] 2 6 1 2 2 6 1 22 6 1 0 2 3 7 2 3 7 32 22 3 0 3 7 2 − ≥ − − ⇔ ∪  − + > −− + ≥    − − > + ≥  xx x x x x x xx x x xx x x x x x 3. Tương tự : 3 5x< ≤ 4. ðk: 3 0 2 8 0 4 7 7 0 x x x x + ≥  − ≥ ⇔ ≤ ≤  − ≥ [ ] [ ] [ ] [ ][ ]2 2 2 [4] 3 2 8 7 3 1 2 2 8 7 2 2 8 7 5 4 2 22 56 11 30 0 6 ⇔ + ≥ − + − ⇔ ≥ − + − − ⇔ ≥ − − ≤ ⇔ ≥ − + − ⇔ − + ≥ ⇔  ≥ x x x x x x x x x x x x x Kết luận : 4 5 6 7 x x ≤ ≤  ≤ ≤ 5. ðkiện : 2 0 1 0 0 0 x x x x + ≥  + ≥ ⇔ ≥  ≥ [ ]2 [5] 2 1 2 2 1 2 [ 1] 1 2 [ 1] 3 2 3 3 2 3 1 01 3 3 1 0 1 4 [ 1] 3 2 3 3 2 31 3 3 ⇔ + < + + ⇔ + < + + + ⇔ − < +  + + < − < −  − ≥ − ∪ ⇔ ≥  − < + − + − +  < ≤ Bài 2: Giải các bpt sau : [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 1] [ 3 ]. 2 3 2 0 22] 21 3] 4 3 9 2 1 1 − − − ≥ − − + + + x x x x x x x x x x Bài giải : 1. 2 2 2 122 3 2 0 21[1] 22 3 2 0 2 33 0 1 2 2 0 3      = ≤ −  − − =   ⇔ ⇔ = − ⇔ = − − >    ≥ − ≥     ≤ ∪ ≥ x x x x x xx x xx x x x x x 2. ðk : 99 2 0 2 3 9 2 0 0 x x x x + ≥ ≥ −  ⇔  − + ≠  ≠ Khi ñó : [ ]22 2 2 3 9 2 7[2] 21 9 2 4 4 2 + + ⇔ < + ⇔ + < ⇔ < x x x x x x Kết luận : 9 7 2 2 0 x x  − ≤ − ⇔ − + > − ⇔ − + > − ⇔ + < ⇔ + < ⇔ < x x x x x x x x x x Kết luận : 1 8x− ≤ < Chú ý : Dạng [ ] 0 [ ]. [ ] 0 ] ] 0 [ ] 0  =  ≥ ⇔ >  ≥ g x f x g x g x f x GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Bài 3: Giải bpt sau : 23 4 2 2− + + +   − >− + + < −  x x x x xx x x Vậy bpt có nghiệm : 9 4 7 3 x< ≤ +] Xét: 1 0 :x− ≤ < bpt luôn ñúng Kết luận nghiệm của bpt: 1 0 9 4 7 3 x x − ≤ ⇔ − + > ⇔ − + − + ⇔ ⇔ u u u u u u x x x x Kết luận : 8 3 7 8 3 70 2 2 x x − + BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : 2 2 2 2 2 2 1] 3 6 4 2 2 2] 2 4 3 3 2 1 3] 3 5 7 3 5 2 1 + + < − − + + − − > + + − + + ≥ x x x x x x x x x x x x Bài giải : 1.ðặt : 2 2 2 2 2 2 43 6 4, 0 3 6 4 3[ 2 ] 4 2 3 − = + + ≥ ⇒ = + + = + + ⇒ + = tt x x t t x x x x x x Khi ñó : [ ] 2 2 241 2 3 10 0 0 2[ 0] 0 3 6 4 2 3 − ⇔ < − ⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ≤ + + + x x x x x x xx x x x x Bài giải : 1. [ ] [ ] [ ]2 2 31 1 1 1 1 2x x⇔ − + + − − > ðk : 1x ≥ : 3Bpt 1 1 1 1 2 ⇔ − + + − − >x x ðặt : 1, 0t x t= − ≥ Khi ñó : 31 1 [2] 2 3 3] 1: [2] 2 1 1 [do t 1] 2 2 4 3] 0 1: [2] 2 2 ⇔ + + − > + ≥ ⇔ > ⇔ > ⇔ − ≥ ≥ ⇔ ≥ + ≤ t t t t t x x t Vậy : 1 0 1 1 2 x x x ≥ ≤ − ≤ ⇔  ≤ Kết luận : 1x ≥ 2. ðk : x > 0. [ ] 1 12 5 2 4[3] 22 x x xx   ⇔ + < + +    ðặt : 21 1 12 . 2, 2 1 42 2 = + ≥ = ≥ ⇒ + = −t x x t x t xx x Khi ñó : [ ] [ ]2 2 1 3 5 2 1 4 2 5 2 0 2 2  ⇔  > t t t t t t Do ñk: Ta có 1 2 2 4 1 0 2 + > ⇔ − + >x x x x ðặt : , 0u x u= > Ta ñược : 2u2 – 4u + 1> 0 2 2 2 2 3 2 20 0 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2    − − − < < < < > >      u x x u x x 3. ðk: 1 0 :x x ðặt: 2 1 1 , 0 1 + = > ⇒ = + x x t t x x t Ta ñược : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN [ ][ ]3 2 221 2 3 2 3 1 0 1 2 1 0 1 1 1 40 [do t 0] 0 1 2 2 3 − > ⇔ + − < ⇔ + + − < + ⇔ ⇔ < < ⇔ − < < − t t t t t t t x t x x Bài 3: Giải bpt sau: 2 35 121 x x x + > − Bài giải : ðk: 2 11 0 1 x x x < − − > ⇔  > +] Xét x < -1 :bpt VN +] Xét x > 1 : [ ] 2 2 4 2 2 2 22 2 1225 12251 2. 2. 0 [2] 1 144 1 1441 1 ⇔ + + > ⇔ + − > − − − − x x x x x x xx x ðặt : 2 , 0 2 1 = > − x t t x 21225 25 252 4 2[2] 2 0 [do t 0] 144 625 625 144 12 122 1 25 520 1 16 44 2 144 625 625 0 [do x 1]5252 39           ⇔ + − > ⇔ > > ⇔ > ⇔ > − − ≤ < < < ⇔ − + > ⇔ ⇔ > >> x t t t x x x x x x x xx ****************HẾT***************

Tài liệu đính kèm:

• [ToanHocTHPT]BaiTapBatPhuongTrinh-DucKhanh.pdf