Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
Tính:
LG a
a] \[\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x\sin ^2} xdx\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hạ bậc đưa về tích phân các hàm lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\displaystyle \int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x\sin ^2} xdx \]
\[\displaystyle = {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x[1 - \cos 2x]dx}\]
\[ = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\cos 2x - {{\cos }^2}2x} \right]dx} \]
\[\displaystyle = {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {\left[ {\cos 2x - {{1 + \cos 4x} \over 2}} \right]} dx\]
\[\displaystyle = {1 \over 4}\int_0^{{\pi \over 2}} {[2\cos 2x - \cos 4x - 1]dx} \]
\[\displaystyle = {1 \over 4}\left[ {\sin 2x - {{\sin 4x} \over 4} - x} \right]_0^{{\pi \over 2}} \displaystyle = {1 \over 4}.[-{\pi \over 2}] \]
\[\displaystyle= {{ - \pi } \over 8} \]
LG b
b] \[\displaystyle\int_{ - 1}^1 {|{2^x}} - {2^{ - x}}|dx\]
Phương pháp giải:
Xét dấu, phá dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có: Xét \[{2^x}-{2^{ - x}} 0 x 0\].
Ta tách thành tổng của hai tích phân:
\[\displaystyle\int_{ - 1}^1 {|{2^x}} - {2^{ - x}}|dx \]
\[= \displaystyle\int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} + \displaystyle\int\limits_0^1 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} \]
\[= - \displaystyle\int_{ - 1}^0 [ {2^x} - {2^{ - x}}]dx \] \[+ \displaystyle\int_0^1 [ {2^x} - {2^{ - x}}]dx\]
\[ = - \left. {\left[ {\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}} \right]\,} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left[ {\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}} \right]\,} \right|_0^1\]
\[\begin{array}{l}
= \left[ {\dfrac{{ - 2}}{{\ln 2}} + \dfrac{5}{{2\ln 2}}} \right] + \left[ {\dfrac{5}{{2\ln 2}} + \dfrac{{ - 2}}{{\ln 2}}} \right]\\
= \dfrac{{ - 4}}{{\ln 2}} + \dfrac{5}{{\ln 2}}
\end{array}\]
\[\displaystyle = {1 \over {\ln 2}} \]
LG c
c] \[\displaystyle\int_1^2 {{{[x + 1][x + 2][x + 3]} \over {{x^2}}}} dx\]
Phương pháp giải:
Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về các hàm đa thức, phân thức cơ bản và tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\displaystyle \int_1^2 {{{[x + 1][x + 2][x + 3]} \over {{x^2}}}} dx \] \[\displaystyle = \int_1^2 {{{{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \over {{x^2}}}dx} \]
\[ \displaystyle= \int\limits_1^2 {\left[ {x + 6 + \frac{{11}}{x} + \frac{6}{{{x^2}}}} \right]} \,dx\]
\[\displaystyle = \left[ {{{{x^2}} \over 2} + 6x + 11\ln |x| - {6 \over x}} \right]\left| {_1^2} \right. \]
\[ \displaystyle = [2 + 12 + 11\ln 2 - 3] - [{1 \over 2} + 6 - 6] \]
\[\displaystyle = {{21} \over 2} + 11\ln 2 \]
LG d
d] \[\displaystyle\int_0^2 {{1 \over {{x^2} - 2x - 3}}} dx\]
Phương pháp giải:
Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng, hiệu hai phân thức đơn giản đã biết cách tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\int\limits_0^2 {\dfrac{1}{{{x^2} - 2x - 3}}dx \\= \displaystyle\int\limits_0^2 {\dfrac{1}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 3} \right]}}dx} } \\= \displaystyle\int\limits_0^2 {\dfrac{{\left[ {x + 1} \right] - \left[ {x - 3} \right]}}{{4\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 3} \right]}}dx} \\= \dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_0^2 {\left[ {\dfrac{{x + 1}}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 3} \right]}} - \dfrac{{x - 3}}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 3} \right]}}} \right]dx}
\\= \dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_0^2 {\left[ {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]dx} \\
= \left. {\dfrac{1}{4}\left[ {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_0^2\\
= \dfrac{1}{4}\left[ { - \ln 3 - \ln 3} \right] = - \dfrac{1}{2}\ln 3.
\end{array}\]
LG e
e] \[\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {{{[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} ]}^2}dx} \]
Phương pháp giải:
Thu gọn biểu thức \[ [\sin x+\cos x]^2\] đưa về các hàm số lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \int_0^{{\pi \over 2}} {{{[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\cos x}\nolimits} ]}^2}dx} \cr &= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right]dx} \cr &= \int_0^{{\pi \over 2}} {[1 + \sin 2x]dx} \cr
& = \left[ {x - {{\cos 2x} \over 2}} \right]\left| {_0^{{\pi \over 2}}} \right. = {\pi \over 2} + 1. \cr} \]
LG g
g] \[\displaystyle\int_0^\pi {{{[x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}]}^2}} dx\]
Phương pháp giải:
Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân, kết hợp với công thức hạ bậc, phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\int\limits_0^\pi {{{\left[ {x + \sin x} \right]}^2}dx} \\
= \displaystyle\int\limits_0^\pi {\left[ {{x^2} + 2x\sin x + {{\sin }^2}x} \right]dx} \\
= \displaystyle\int\limits_0^\pi {{x^2}dx} + 2\displaystyle\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} + \displaystyle\int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}xdx} \\
= I + 2J + K
\end{array}\]
Tính \[I = \displaystyle\int\limits_0^\pi {{x^2}dx} = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^\pi = \dfrac{{{\pi ^3}}}{3}\]
Tính :\[J = \int_0^\pi {x\sin xdx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \sin xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = - \cos x
\end{array} \right.\]
Suy ra:
\[J = \left[ { - x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right]\left| {_0^\pi } \right. + \displaystyle\int_0^\pi {{\mathop{\rm cosxdx}\nolimits} = \pi + \left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]} \left| {_0^\pi } \right. = \pi \]
Tính K:
\[\begin{array}{l}
K = \displaystyle\int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}xdx} \\
= \displaystyle\int\limits_0^\pi {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}dx} \\
= \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^\pi {\left[ {1 - \cos 2x} \right]dx} \\
= \dfrac{1}{2}\left. {\left[ {x - \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right]} \right|_0^\pi \\
= \dfrac{\pi }{2}
\end{array}\]
Do đó:
\[\eqalign{
& I = {{{\pi ^3}} \over 3} + 2\pi + {\pi \over 2}= \dfrac{{{\pi ^3}}}{3} + \dfrac{{5\pi }}{2}\cr} \]