Phương trình mặt phẳng trong không gian là một trong những dạng toán “khó nhằn”, khiến nhiều bạn dễ mất điểm nếu không nắm vững kiến thức. Vì vậy, bài viết dưới đây sẽ cung cấp tổng hợp lý thuyết cũng như các dạng phương trình mặt phẳng thường gặp để giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng bài tập này.
Để hiểu hơn về vectơ pháp tuyến ta có:
[P] là một mặt phẳng trong không gian, 1 vectơ khác vectơ 0 có phương vuông góc với [P] thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [P].
Vectơ chỉ phương của mặt phẳng: Ta có mặt phẳng [P]. Khi 2 vectơ khác vectơ 0 và không cùng phương thì gọi là cặp vectơ chỉ phương của [P] nếu giá của chúng nằm song song hoặc nằm trên [P].
1.2. Phương trình mặt phẳng
-
Ta có mặt phẳng [P] đi qua điểm $M_{0}[x_{0}$,$y_{0}$,$z_{0}]$ và nhận $\bar{n}[A,B,C]$ là vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A[x-x_{0}]$ + $B[y-y_{0}]$ + $C[z - z_{0}]$
-
Mặt phẳng trong không gian đều có phương trình tổng quát dạng:
Ax + By + Cz = 0, trong đó $A^{2}$ + $B^{2}$ + $C^{2}$ > 0. Khi đó vectơ n[A;B;C] chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
-
Tiếp theo, một mặt phẳng đi qua 3 điểm M[a,0,0], N[0,b,0], C[0,0,c] trong đó $abc \neq 0$. Ta có phương trình: $\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$+$\frac{z}{c}$ = 0, khi đó phương trình này gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
1.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng [P1] và [P2] thì ta có phương trình như sau:
1.4. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng [P1] và [P2] thì ta có phương trình sau:
>> Xem thêm: Góc giữa 2 mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và bài tập
1.5. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
2. Cách giải các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian
2.1. Lập phương trình mặt phẳng oxyz đi qua 3 điểm
Phương trình tổng quát của mặt phẳng [P] mặt phẳng Oxyz có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với $A^{2}$ + $B^{2}$ + $C^{2}$ > 0
Để viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần có:
-
Điểm M bất kỳ mà mặt phẳng đi qua.
-
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
2.2. Viết phương trình mặt phẳng p song song và cách đều
Mặt phẳng [P] đi qua điểm $M_{0}[x_{0}$,$y_{0}$,$z_{0}]$ đồng thời song song với mặt phẳng [Q]:
Ax + By + Cz + m = 0
Vì M thuộc mặt phẳng [P] nên thế tọa độ M và mặt phẳng [P] ta tìm được M.
Khi đó mặt phẳng [P] sẽ có phương trình như sau:
$A[x-x_{0}]$ + $B[y-y_{0}]$ + $C[z - z_{0}]$ = 0
Lưu ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến.
2.3. Dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Ở dạng bài tập này sẽ có phương pháp giải như sau:
-
Tính bán kính của mặt cầu S và tìm tọa độ tâm I
-
Nếu mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng P tại $M \in [S]$ thì mặt phẳng P sẽ đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là MI
-
Trong trường hợp bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ liệu liên quan để tìm ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Sau đó viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0
2.4. Viết phương trình 2 mặt phẳng vuông góc
Ta có điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
Cho 2 mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: ${A}'x$ + ${B}'y$ + ${C}'z$ + ${D}'$ = 0 khi đó 2 mặt phẳng vuông góc với nhau ⇔ ${AA}'$ + ${BB}'$ + ${CC}'$ + ${DD}'$ = 0.
Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì:
-
Cách 1: Cần chứng minh được mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
-
Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng phải bằng 90 độ.
2.5. Viết phương trình mặt phẳng cắt 3 trục tọa độ
Dạng bài này ta có phương pháp cụ thể như sau:
Trong video sau đây, thầy Phạm Anh Tài sẽ cung cấp cho các em toàn bộ kiến thức về lý thuyết, bài tập vận dụng của phương trình mặt phẳng. Giải chi tiết các ví dụ giúp các em nắm được nội dung bài học dễ dàng hơn. Các em chú ý theo dõi nhé!
Như vậy, bài viết trên đây đã cung cấp cho các em đầy đủ kiến thức lý thuyết, công thức toán hình 12 về phương trình mặt phẳng và các dạng bài tập thường gặp. Tuy nhiên, nếu muốn đạt kết quả tốt nhất, các em hãy truy cập vào Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để làm thêm nhiều dạng bài tập hình học không gian khác nhau nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.
>> Xem thêm:
Toán 12 | Ôn thi THPTQG môn Toán
180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.
1.500.000₫
Chỉ còn 900.000 ₫
Chỉ còn 2 ngày
Vậy cách viết phương trình mặt phẳng qua 2 điểm và vuông góc với mặt phẳng trong Oxyz như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và cùng xem các bài tập và ví dụ minh họa để hiểu rõ nhé.
Các em có thể xem lại nội dung Lý thuyết và các dạng bài tập Phương trình mặt phẳng trong Oxyz nếu các em chưa nhớ rõ phần kiến thức này.
° Cách viết phương trình mặt phẳng qua 2 điểm và vuông góc với mặt phẳng trong Oxyz
- Cho trước tọa độ điểm M, N phương trình mặt phẳng [Q]. Hãy viết phương trình mặt phẳng [P] qua 2 điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng [Q].
* Phương pháp:
- Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng [Q]:
Ax + By + Cz + D = 0
– Tìm vectơ pháp tuyến của [P]:
– Mặt phẳng [P] đi qua điểm M[x0; y0; z0] và có vectơ pháp tuyến là
a[x – x0] + b[y – y0 ] + c[z – z0] = 0;
* Ví dụ 1: Cho mặt phẳng [P] có phương trình 2x + 3y - 4z - 2 = 0 và điểm A[0;2;0].Viết phương trình mặt phẳng [α] đi qua OA và vuông góc với [P] với O là gốc toạ độ.
* Lời giải:
- Hai vectơ có giá song song hoặc được chứa trong [α] là :
⇒ [α] có vectơ pháp tuyến
⇒ Mặt phẳng [α] đi qua điểm O[0;0;0] và có vectơ pháp tuyến là
-8x – 4z = 0 ⇔ 2x + z = 0.
* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A[1;0;0], B[0;-3;0], C[0;0;-2].
* Lời giải:
- Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được phương trình [P] có dạng:
⇔
⇔ 6x - 2y - 3z - 6 = 0.
>> xem ngay: Các dạng bài tập phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
Hy vọng với bài viết về cách viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc và cắt đường thẳng d trong Oxyz ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ. Chúc các em học tập tốt!