Xét vị trí tương đối của hai phương trình tham số

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm [nếu có] của chúng. Bài 11 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao – Bài 2. Phương trình tham số của đường thẳng

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm [nếu có] của chúng

a]

\[\left\{ \matrix{ x = 4 – 2t \hfill \cr

y = 5 – t \hfill \cr} \right.\]

 và 

\[\left\{ \matrix{ x = 8 + 6{t’} \hfill \cr

y = 4 – 3{t’} \hfill \cr} \right.;\]

b]

\[\left\{ \matrix{ x = 5 + t \hfill \cr

y = – 3 + 2t \hfill \cr} \right.\]

 và \[{{x – 4} \over 2} = {{y + 7} \over 3};\]

c]

\[\left\{ \matrix{ x = 5 + t \hfill \cr

y = – 1 – t \hfill \cr} \right.\]

 và \[x + y – 4 = 0\]

a] Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:

 \[x + 2y – 14 = 0\] và \[x + 2y – 16 = 0\]

Ta có:  \[{1 \over 1} \ne {2 \over 2} \ne {{ – 14} \over { – 16}}\]

Do đó hai đường thẳng song song.

b] Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:

\[2x – y – 13 = 0\] và \[3x – 2y – 26 = 0\]

Ta có:  \[{2 \over 3} \ne {{ – 1} \over { – 2}}.\]

Do đó hai đường thẳng cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau: 

\[\left\{ \matrix{ 2x – y – 13 = 0 \hfill \cr 3x – 2y – 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr

y = – 13 \hfill \cr} \right.\]

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại M[0, -13]

c] Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:

\[x + y – 4 = 0\] và \[x + y – 4 = 0\]

Hai đường thẳng trùng nhau.

1. Các kiến thức cần nhớ

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left[ {a' \ne 0} \right]$.

+] $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$

+] \[d\] cắt $d'$\[ \Leftrightarrow a \ne a'\].

+] \[d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\].

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số $m$ để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left[ {a' \ne 0} \right]$.

+] $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$

+] \[d\] cắt $d'$\[ \Leftrightarrow a \ne a'\].

+] \[d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\].

Dạng 2:  Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp:

+] Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.

Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau

+] Ta có\[y = ax + b\] với \[a \ne 0\], \[b \ne 0\] là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm \[A\left[ {0;b} \right]\], cắt trục hoành tại điểm \[B\left[ { - \dfrac{b}{a};0} \right]\].

+] Điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] thuộc đường thẳng \[y = ax + b\] khi và chỉ khi \[{y_0} = a{x_0} + b\].

Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d$ luôn đi qua với mọi tham số $m$

Phương pháp:

Gọi $M\left[ {x;y} \right]$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $M\left[ {x;y} \right]$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.

Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.

Từ đó để phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ luôn đúng thì $a = b = 0$

Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.

Khi đó $M\left[ {x;y} \right]$ là điểm cố định cần tìm.