- LG a
- LG b
- LG c
Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.ABC\] có các cạnh bên là \[AA\], \[BB\], \[CC\]. Gọi \[I\] và \[I\] tương ứng là trung điểm của hai cạnh \[BC\] và \[BC\].
LG a
Chứng minh rằng \[AI\parallel A'I'\].
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất đường trung bình của hình bình hành.
Tính chất hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Trong hình bình hành \[BBCC\] ta có \[I, I\] lần lượt là trung điểm của \[BC, B'C'\] nên \[II\] là đường trung bình của hình bình hành \[BBCC\].
Suy ra \[II\parallel = BB\], mà \[AA\parallel = BB\] nên \[II\parallel =AA\].
Vậy tứ giác \[AAII\] là hình bình hành nên \[AI\parallel AI\].
LG b
Tìm giao điểm của \[IA\] với mặt phẳng \[[ABC]\].
Phương pháp giải:
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng \[d\] với mặt phẳng \[[\alpha]\] ta tìm giao điểm của đường thẳng \[d\] với đường thẳng \[d\], trong đó \[d\subset [\alpha]\] và \[d,d\] cùng thuộc một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}A \in \left[ {AB'C'} \right]\\A \in \left[ {AA'I'I} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow A \in \left[ {AB'C'} \right] \cap \left[ {AA'I'I} \right]\]
Tương tự : \[\left\{ \begin{array}{l}I' \in B'C' \subset \left[ {AB'C'} \right]\\I' \in \left[ {AA'I'I} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow I' \in \left[ {AB'C'} \right] \cap \left[ {AA'I'I} \right]\]
[ABC] [AAII] = AI
Gọi AI AI = E. Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}E \in A'I\\E \in AI' \subset \left[ {AB'C'} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow E = A'I \cap \left[ {AB'C'} \right]\]
Vậy E là giao điểm của AI và mặt phẳng [ABC].
LG c
Tìm giao tuyến của \[[ABC]\] và \[[ABC]\]
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất nếu hai mặt phẳng \[[\alpha]\] và \[[\beta]\] có điểm chung \[S\] và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \[d\] và \[d\] thì giao tuyến của \[[\alpha]\] và \[[\beta]\] là đường thẳng \[\Delta\] đi qua \[S\] và song song với \[d\] và \[d\].
Sử dụng tính chất của hình bình hành.
Sử dụng định lý Talet.
Lời giải chi tiết:
Trong [ABBA], gọi \[A'B \cap AB' = M\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in A'B \subset \left[ {A'BC} \right]\\M \in AB' \subset \left[ {AB'C'} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow M \in \left[ {A'BC} \right] \cap \left[ {AB'C'} \right]\]
Trong [ACCA] gọi \[A'C \cap AC' = N\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in A'C \subset \left[ {A'BC} \right]\\N \in AC' \subset \left[ {AB'C'} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow N \in \left[ {A'BC} \right] \cap \left[ {AB'C'} \right]\]
Vậy [ABC] [ABC] = MN.
Cách lập luận khác:
Ta có \[ AI\cap [ABC]=E\] mà \[AI\subset [ABC]\] \[\Rightarrow E\in [ABC]\cap [ABC]\].
Ta lại có \[[ABC], [ABC]\] lần lượt có hai đường thẳng \[BC\parallel BC\]
Suy ra \[[ABC]\cap [ABC]=Ex\], \[Ex\parallel BC\parallel BC\].
Tứ giác \[AAII\] là hình bình hành có hai đường chéo là \[AI\] và \[AI\] giao nhau tại \[E\] nên \[E\] là trung điểm mỗi đường.
Suy ra \[E\] là trung điểm của \[AI\]
Tam giác \[ABC\] có \[Ex\parallel BC\] và \[E\] là trung điểm của \[AI\] nên \[Ex\cap AB=M, Ex\cap AC=N\] khi đó \[M\] là trung điểm của \[AB\], \[N\] là trung điểm của \[AC\].
Tứ giác \[AABB\] và \[AACC\] là hình bình hành có \[M\] \[N\] lần lượt là trung điểm của đường chéo nên cũng là trung điểm của đường chéo còn lại.
Suy ra \[MN\subset [ABC]\]
Suy ra \[[ABC]\cap [ABC]=MN\].