Bài tập đạo hàm cấp 2 có lời giải
A. Lí thuyết cơ bản1. Vi phâna) Định nghĩa: Show Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm tại . Cho số gia tại sao cho . Ta gọi tích (hoặc ) là vi phân của hàm số tại x ứng với số gia và ký hiệu là dy hoặc . Như vậy, ta có: hoặc Áp dụng: Với hàm số , ta được: Vậy ta có: hoặc . b) Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng: Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: Do đó, với đủ nhỏ thì: Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất. 2. Đạo hàm cấp caoa) Định nghĩa: Giả sử hàm số có đạo hàm .
Kí hiệu là hay .
Kí hiệu là hay .
Kí hiệu là hay .
Kí hiệu là hay . b) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: với là hàm số có đạo hàm. Khi đó, gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là đạo hàm cấp hai của hàm số tại là . B. Bài tậpDạng 1. Tìm vi phân của hàm sốA. Phương pháp
Suy ra vi phân của hàm số là: B. Bài tập ví dụ
Lời giải: Ta có . Do đó vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia là: .
Lời giải: a) Ta có: suy ra . b) Ta có: Suy ra . c) Ta có: y'=sinxcosx2'=(sinx)'.cosx2+sinxcosx2'=cosx.cosx2-12sinx.sinx2. Suy ra dy=y'.dx=cosx.cosx2-12sinx.sinx2dx. d) Ta có: = sinx + xcosx + sinx = 2sinx + xcosx. Suy ra . Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm sốA. Phương phápĐể tính gần đúng giá trị của hàm số tại điểm cho trước, ta áp dụng công thức: B. Bài tập ví dụ
Lời giải: a) Ta có . Xét hàm số chọn và , ta có b) Ta có Xét hàm số . Chọn và , ta có . c) Ta có Xét hàm số Chọn và , ta có d) Ta có Xét hàm số Chọn và , ta có . e) Xét hàm số Chọn và , ta có Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm sốA. Phương phápÁp dụng trục tiếp định nghĩa để tính đạo hàm cấp cao: B. Bài tập ví dụ
Lời giải: a) Có
b) Ta có c) d) e) f) Ví dụ 3.2: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) b) Lời giải: a) Bước 1: Ta có: Dự đoán: (1), Bước 2: Chứng minh (1) bằng quy nạp: * : (1) hiển nhiên đúng. * Giả sử (1) đúng với nghĩa là ta có: ta phải chứng minh (1) cũng đúng với nghĩa là ta phải chứng minh (2) Thật vậy: vế trái (2) vế phải (2) đúng, nghĩa là (1) đúng với . Bước 3: Theo nguyên lí quy nạp suy ra b) Ta có: ; . Dự đoán: (1), . Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp: * hiển nhiên đúng. * Giả sử (1) đúng với , nghĩa là ta có: ta phải chứng minh (1) cũng đúng với , nghĩa là ta phải chứng minh: (2) Thật vậy, vế trái Vậy (2) đúng nghĩa là (1) đúng với . Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp caoA. Phương phápXét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: với là hàm số có đạo hàm. Khi đó, gia tốc tức thời B. Bài tập ví dụVí dụ 4.1: Cho chuyển động xác định bởi phương trình với , tính bằng giây và tính bằng . a) Tính vận tốc tại thời điểm . b) Tính gia tốc tại thời điểm . c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu. d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. Lời giải: Ta có . a) Vận tốc tại thời điểm là . b) Gia tốc tại thời điểm là . c) Vận tốc triệt tiêu . Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là: . d) Gia tốc triệt tiêu . Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là: . |