Bài toán : Cho theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh rằng ta luôn có :
Lời giải :
Gọi ba cạnh của tam giác là . Đặt . Ta biểu thị các đại lượng theo .
Ta có :
Từ đó :
Và :
Và như vậy ta dẫn đến việc chứng minh :
The inequality is written as :
WLOG, suppose . Implies , hence . We will prove .
But . We prove :
Since , we get and .
Bài toán : Cho tam giác thỏa điều kiện .
Chứng minh rằng :
Lời giải :
Ta có :
Mặt khác :
Do vậy :
Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán : Cho tam giác có ba đường trung tuyến đồng quy tại và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt tại . Chứng minh rằng :
Lời giải :
Ta có
Do đó :
Suy ra
Hoàn toàn tương tự ta được :
Từ đó suy ra :
Đây là điều phải chứng minh.
Bài toán [CĐT Olympic 30-4 toán 10 năm 2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai]
Cho tam giác . Chứng minh rằng :
Lời giải :
Ta đặt thì
Ta có , tương tự với
Từ đó ta có :
Chú ý là vì nên
Do đó :
Như vậy ta cần chứng minh :
Thật vậy, áp dụng BĐT :
Kéo theo :
Mặt khác :
Suy ra :
Đây là điều cần chứng minh.
Bài toán [Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2003] : Cho hai đường tròn đồng tâm và với . Tia lần lượt cắt tại . Chứng minh rằng
Lời giải :
Bổ đề : Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Khi đó và .
Chứng minh bổ đề :
Kẻ dây cung với thuộc . Dễ thấy .
Theo định lí Ptolemy và liên hệ giữa dây và đường kính, ta có :
Tương tự, . Bổ đề được chứng minh.
Bài toán :
Ta có
Chú ý vì nên .
Áp dụng bổ đề ta có
Hoàn toàn tương tự, ta có :
Do vậy mà :
Đây là điều phải chứng minh.
Bài toán [THTT số 437] Chứng minh rằng với mọi tam giác , ta có :
Lời giải :
Chú ý công thức
Suy ra
Tương tự với các hệ thức còn lại.
Mặt khác, ta có :
Tương tự với các hệ thức còn lại.
Từ đó ta quy về chứng minh BĐT đại số :
Đặt , vì là độ dài ba cạnh một tam giác nên .
Khi đó . Ta cần chứng minh :
Sử dụng các khai triển :
Khi đó trừ vào hai vế của và dùng các khai triển nêu trên, BĐT cần chứng minh tương đương :
Dễ dàng thấy được . Khi đó giả sử thì ta có điều phải chứng minh.
Bài toán [Đề thi Olympic 30-4 chính thức toán 10 năm 2003] : Cho tam giác nội tiếp đường tròn , các phân giác trong cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng :
Lời giải :
Theo định lí hàm sin :
Và theo công thức đường phân giác :
Suy ra
Ta có
Từ đó :
Hoàn toàn tương tự :
và
Như vậy thì :
Đây là điều phải chứng minh
Bài toán [Đề nghị Olympic 30-4 môn toán 10 THPT Chuyên Kon Tum, tỉnh Kon Tum 2011] :
Xác định hình dạng tam giác nếu biết rằng :
Lời giải :
Đặt thì
Mặt khác thì
Từ đó ta thấy
và
Các hệ thức với tương tự.
Do đó giả thiết đề bài có thể viết lại thành :
Mặt khác, theo BĐT và , ta có :
Đẳng thức xảy ra khi , hay tam giác là tam giác đều.
Bài toán : [Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định] Cho tam giác có các cạnh , là tâm đường tròn nội tiếp, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng :
a]
b]
Lời giải :
a] Ta có
[đúng].
Suy ra điều phải chứng minh.
b] Tương tự câu a, ta thiết lập được các hệ thức tương tự .
Ta có
Hoàn toàn tương tự :
.
Suy ra
.
Đây là điều phải chứng minh.
Bài toán [Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên] : Cho điểm thuộc miền trong tam giác , gọi lần lượt là khoảng cách từ điểm đến các cạnh . Chứng minh rằng nếu thì trong đó là tâm và là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Lời giải :
Gọi lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ xuống .
Ta có .
Theo định lí cho tam giác :
, tức là
Theo hệ thức :
Để chứng minh hay , ta sẽ chứng minh :
Theo BĐT :
Lại theo giả thiết .
Do đó .
Như vậy được chứng minh, ta có điều phải chứng minh.