Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có rất nhiều dạng bài như: viết pttt của hàm số tại 1 điểm, đi qua 1 điểm, biết hệ số góc...Nhưng phần này lại không khó khăn gì nếu chúng ta nắm được phương pháp của từng dạng bài này.
I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:
Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’[x0]. [x – x0] + y0
1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M[x0, y0] thuộc đồ thị hàm số [tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M[x0; y0] làm tiếp điểm].
Phương trình tiếp tuyến với hàm số [C]: y = f[x] tại điểm M[x0; y0] ∈ [C]
[hoặc tại h x = x0 ] có dạng: y =f’[x0].[x – x0] + y0.
2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A [xA, yA] cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số [tức là mọi tiếp tuyến đi qua A[xA, yA]].
Cho hàm số [C]: y = f[x]. Giả sử tiếp điểm là M[x0, y0], khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’[x].[x – x0] + y0 [d].
Điểm A[xA, yA] ∈ d, ta được: yA = f’[x0]. [xA – x0] + y0 => x0
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.
3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k
Cho hàm số [C]: y = f[x]. Giả sử tiếp điểm là M[x0;y0], khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f’[x0].[x – x0] + y0.
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:
f’[x0] = k => x0, thay vào hàm số ta được y0 = f[x0].
Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f’[x0]. [x – x0] + y0.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M[x0; y0] có hệ số góc k có dạng;
d:y = g’[x] = k.[x – x0] + y0.
Điều kiện để đường thằng y = g[x] tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f[x] là hệ phương trình sau có nghiệm: \[\left\{\begin{matrix} f[x]=g[x] & \\ f'[x]=g'[x] & \end{matrix}\right.\] Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.
II. Bài tập
Loại 1: Cho hàm số y =f[x]. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0[x0; y0] ∈ [C].
Giải
Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k[x – x0] + y0 [*]
Với x0 là hoành độ tiếp điểm;
Với y0 = f[x0] là tung độ tiếp điểm;
Với k = y’[x0] = f’[x0] là hệ số góc của tiếp tuyến.
Để viết được phương trình tiếp tuyến ta phải xác định được x0; y0 và k.
MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0[x0;y0] ∈ [C]
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc
Áp dụng [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.
Áp dụng [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0
-Giải phương trình y0 = f[x0] để tìm x0.
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
Áp dụng [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’[x0] = f’[x0]
-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’[x0] = f’[x0] để tìm x0
- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.
Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Chú ý: Một số dạng khác
-Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì điều này
y’[x0]. a = -1 ⇔ y’[x0] = -1/a
... Quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = ax + b thì điều này ⇔ y’[x0] = a… Quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của [C] và đường thẳng… Quay về dạng 1.
Chú ý:
Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 với a1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2 với a2 là hệ số góc của đường thẳng d2.
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay
\>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.