Chuyên đề so sánh hai lũy thừa toán 6 năm 2024

Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại (zalo ): 0393.732.038

Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ)

Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm

Email: [email protected]

Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW

Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC

Website: http://tailieumontoan.com

• 1. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT HỘI AN TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM TỔ TOÁN LÝ Chuyên đề 3 SO SÁNH HAI LUỸ THỪA Kiến thức: * Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a n=a..a.a.a.a....a (n thừa số a với a thuộcQ) Qui ước: a 0=1(a ¹ 0)& a1 = a * Các phép tính luỹ thừa: - Nhân 2 luỹ thưa cùng cơ số: am.an = am+n - Chia 2 luỹ thừa cùng cơ số : am : an = am-n (a ¹ 0;m ³ n) - Luỹ thừa 1 tích: (a.b) n = an .bn - Luỹ thừa 1 thương : (a : b ) n = an : bn (b ¹ 0) - Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m )n = am.n - Luỹ thừa tầng : a mn = a ( mn ) vidu : 32 3 = 38 - Luỹ thừa với số mũ âm: a - = 1 (a ¹ 0)vidu10- 3 = 1 3 10 an n 1. Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ . - Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu m > n thì am > an ( a >1 ) - Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ ( lớn hơn 0) thì số mũ nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn . Nếu a > b thì an > bn ( n > 0) 2. Ngoài cách trên,để so sánh 2 luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu , tính chất đơn điệu của phép nhân ( nếu a0)  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 1 -
• 2. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  LUYỆN TẬP: Bài 1. So sánh các số sau đây : 19 = 4 19 = 76 25 = 3 25 = 75 => 76 > 75 16 8 16 (2 ) 2 ;8 (2 ) 2 2 2 => > a/ 1619 va825 HD: 19 25 b/ 2711va818 HD: 2711 = (33 )11;81 = (34 )8 = 332 => 333 > 332 => 2711 > 818 c/ 6255 va1257 HD: 6255 = (54 )5 = 205 ;125 = (53 )7 = 521 =>1257 > 6255 d/ 523 va6.522 HD: 5 23 = 5.522 < 6.522 => 6.522 > 523 e/ 7. 213 va216 HD: 7.213< 8.213 = 23.1213 = 216 => 216 > 7.213 f/3 2n va23n nÎN* HD:32 = 9;23 = 8 => 9 > 8 => 32 > 23 => (32 )n > (23 )n (vi : nÎ N* => 32n > 23n ) g/ So sánh: 2100&3200 HD: 2100 = (23 )100 = 8100 &3200 = (32 )100 = 9100 => 2300 < 3200 h/ So sánh: 5100&3500 HD: 5300 = (53 )100 =125100 &3500 = (33 )100 = 243100 => 5300 < 3500 i/ So sánh: 230 + 330 + 430 &3.2410 HD: 430 = (22 )30 = (2.2)30 = 230.230 = (23 )10 .(22 )15 >810.315 >810.310.3 = (8.3)10 .3 = 2410.3 Vậy 230 + 330 + 430 > 3.2410 Bài 2: So sánh: a/ 199 20&200315 HD: 199 20< 20020 = (8.25)20 = (23.52 )20 = (23.52 )20 = 260.540 200315> 200015 = (16.125)15 = (24.53 )15 = (24.53 )15 = 260.545 => 2 60 .545 > 260.540 => 200315>19920 b/ 3 39&1121 HD: 339< 340 = (34 )10 = 8110 1121>1120 = (112 )10 =12110 =>12110 >1120 =>1121 > 339  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 2 -
• 3. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  c/ A= 72 45 -7244 & B = 7244 - 7243 HD: A= 72 44 (72 -1) =7244.71& B =.... =7243 (72 -1) =7243.71  A > B Bài 3: Tìm x thuộc N . Biết : a/ 16 x <1284 HD: (2) 4 <(2 7 ) 4 ; 44x < 228 => 4x < 28 => x < 7 => x = 0,1,2,3,4,5,6 b/ x x+ x+ £ 18 HD: 53x+3 £1018 : 218 =>53x+3 £518=>3x+3 £18 => x £5 => x =0,1,2,3,4,5 5 .5 1.5 2 100.............0 : 2  chuso 18 0 c/ Cho S =1 + 2 + 2 2+23 +........+29 . So sánh S với 5.2 8 HD: 2.S = 2 + 22 + 23 + 24 + ........ + 29 + 210 2S- S = 210 -1hay¸ S =210 -1<210 =28.22 =4.28 <5.28 Bài 4 : Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần ? HD: 1/ TH không dùng luỹ thừa : Số lớn nhất viết đựơc là 321 2/ TH có dùng luỹ thừa : (Bỏ qua TH cơ số hoặc số mũ bằng 1 và các luỹ thừa tầng vì các giá trị nầy quá nhỏ so với 321) * Xét các luỹ thưa có số mũ Một chữ số dươc 4 số : 132 ,312 ,123 ,213 =>213 >312 * Xét các luỹ thưa mà số mũ có hai chữ số được 4 số : 213 ,231 ,312 ,321 => 321 = 3.320 = 3.(32 )10 = 3.910 &231 = 2.230 = 2(23 )10 = 2.810 => 231<321 Và so sánh 321 &213 => 321 > 39 = (33 )3 = 273 > 213 Vậy số lớn nhất là 3 21 . BÀi 5: a/ Số 5 8 có bao nhiêu chữ số ? b/ Hai số 2 2003&52003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 3 -
• 4. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  HD: a/ 400000 8 4 2 2 2 = = > = 5 (5 ) 625 600 360000 100000000 = = < = 250 100000000 256 5 10 2 8 8 8 8 360000 5 400000.dodo5 co6chuso 8 <=> < < b/ giả sử 22003 có a chữ số và 5 2003 có b chữ số thì khi viét 2 chữ số liền nhau ta được (a+b) chữ số. vì 10a- 1< 22003 < 10a &10b- 1 < 52003 < 10b Nên 10 a-1.10b-1 < 22003.52003 <10a.10b =>10a+b-2 <102003 <10a+b Do đó : 2003 = a + b - 1 Vậy a + b = 2004 => Só đó có 2004 chữ số. BÀI 6: Viết dưới dạng a n (aÎQ;nÎZ) .(4 2 .9. 1 HD: a/ 2 )2 9 54 3 4 5 ù é ÷ø 2 3 . 1 2 2 .3 3 . 1 3 2 2 3 2 2 2 3 . 2 3 ö = æ ÷ø3 çè 2 . 2 ö 3 çè 2.3 . 2 ö 3 çè 2.3 ö çè æ = ÷ø = æ ú úû ê êë ÷ø æ b/ 2 2 2 .3 3 . 2 ö 3 çè - ÷ø æ 2 .3 .(2 - = HD: 2 3 ) 2 3 2 .3 . 1 = 2 .3 . 3 = - = 2 2 2 .2.2 .3 2.6 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 (2 ) 3 19 3 + 9 4 6 .2 12 2 .27 15.4 .9 c/ 9 10 10 + 1 18 9 = + 2 .3 (2 5) 19 9 18 8 2 .3 .3.5.2 3 19 3 4 4 2 .27 15.4 .9 HD: 2 2 .3 (1 6) 2 .3 .2 (2 .3) 6 .2 .12 19 9 9 9 10 2 10 9 10 10 = + + + = BÀI 7: So sánh các số: a/ 50 20&255010 ;99910 &9999995 HD: 5020 = [(50)2 ]10 = 250010 < 255010 => 520 < 255010 99910 = [(999)2 ]5 < 9980015 < 9999995 => 99910 < 9999995 b/ Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ;375 &550  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 4 -
• 5. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  HD: 100 2 50 50 50 = = < 2 (2 ) 4 5 (1) 75 3 25 75 50 = = = > 3 (3 ) 27 3 5 (2) 50 5 25 25 = = 5 (5 ) 25 (3) Từ(1),(2) và (3) => 2100 < 550 < 375 1 + 1 + 1 + 1 + 1 & 1 2 2 2 2 2 2 2 c/ 101 102 103 104 105 2 .3.5 .7 HD: Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có: n n - = - - 1 ( 1) n n n Vay n n 1 = - + n n n n n n n n n 1 1 : 1 1 1 ( 1) ( 1). 1 ( 1). 1 1 2 2 - - < > - = - - - Áp dụng vào bài toán ta được: 1 1 1 < - 1 1 1 2 2 < - .................................... 1 1 1 < - __________________________________________________________ + + + < - = - = = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 .5 .3.7 ... 1 ...... 1 105 : 1 102 1 2 .5 .3.7 5 2 .5 .5.3.7 105 100 100.105 105 100 105 1 102 1 101 103 104 105 102 101 102 101 100 101 2 2 2 2 2 + + < vay BÀI 8 : Tính giá trị biểu thức: a/ P = (-1).(-1)2 .(-1)3 .(-1)4 ...................(-1)99 HD: P = (-1)1+2+3+4+....+99 Mà : 1+2+3+4+5+........+99 = (1+99).99 = = 50.99 4950 2 Vậy: P = (-1) 1 4950= - 6 . 2 . 1 8 b/ A = 2 3 3 10 1125 - - - - = - = - 8.1000.9 = - 1 8 2 . 3 2 8 . 2 1 1 6 HD: .......= 1 1125.64 1 .10 . 1 1125 1 3 10 . 1125 6 3 2 3 .................. 512 512 - 512 - 512 - c/ M = 512- 2 2 2 2 3 210  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 5 -
• 6. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  1-1 - 1 - 1 - ........... - 1 ) HD: .....= 512.( 2 2 2 3 2 210 = ö çè ö çè ö çè 2 2 3 9 10 1 é ö çè é - - + - + - - + 1 2 1 1 1 512. 1 1024 512 1 1 512 1 1 512. 1 2 ...... 1 1 2 1 ....... 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 10 2 2 3 9 10 = = ù úû êë ù úû êë ÷ø æ - - - ÷ø æ - - ÷ø æ - - ÷ø æ - 1 Vậy M = 2 BÀI 9: Tìm x . Biết: 625 æ x+ 4 2 7 ö çè a/ 5 256 = ÷ø HD: ...= x x æ + + - 4 2 7 5 4 4 2 7 4 4 ö çè æ = ÷ø ö çè æ => ÷ø ö çè æ = ÷ø ö çè ÷ø 2 7 4 2 11 11 2 5 5 4 5 + = - => = - => = - x x x 7x+2 + 7x+1 + 7x 2x = 5 + 5 2x+1 + 5 2x+3 b/ 57 131 HD: .....= x x x x x x 2 2 2 2 3 + + = + + 5 .1 5 .5 5 .5 x x <=> + + = + + 5 .(1 5 125) 1 7 x x <=> = <=> = <=> = 0 7 .7 7 .7 7 .1 7 , (49 7 1) 7 5 7 7 ö 25 çè 7 25 1 25 5 131 57 131 57 0 2 2 2 = <=> ÷ø <=> æ æ = ÷øö çè x x x x x x c/ Tìm x . Biết: (3x-7) 2005=(3x -7)2003 2005 2003 x x - - - = x x (3 7) (3 7) 0 HD:......<=> (3 - 7) 2003 .[(3 - 7) 2 - 1 ] = 0 (3 7) 0 3 7 0 7 { x x x <=> - = <=> - = <=> (3 7) 1 3 7 1 8 hoac x x x x ; 2 3 3 2 2003 <=> - = <=> - = ± <=> = = BÀI 10: Chứng minh rằng : a/ 76 +75 -74 11 HD: 76 +75 -74 = 74 (72 +7 -1) = 74.55 = 74.5.1111 b/ 109 +108 +107 222  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 6 -
• 7. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  HD: .....= 10 7 2 + + = 7 2 + + = 7 7 = =  (10 10 1) (2.5) (10 10 1) 2 .5 .111 6 7 6 7 2 .5 .2.111 2 .5 .222 222 c/ 817 - 279 - 913 45 HD:....=(34 )7 - (33 )9 - (32 )3 = 328 -327 -326 = 326 (32 -3 -12 ) = 32.324.5 =324.4545 d/ 16 5+215 Chia hết cho 33 HD:...=215 .3333 BÀI 11: Tính A = 1+5+5 2+53 +54 +55 +.............................+549 +550 Giải: A = 1+5 + 52 + 53 + 54 + 54 + 55 +.................... + 549 + 550 5A = 5+5 2 +53 +54 +55 +56 +.............................+550 +551 51 51 - => = - 5 1 A 5 1 =>5A - A = 4 1 + + + + + + ) (1 2 ) (1 2 (1 BÀI 12: Cho B = 2 3 4 98 )100 2 ) .......... (1 2 ) (1 2 2 Chứng minh B < 1 Giải: 2B = 1+ 1 + 1 + 1 + ........... + 1 2 2 2 2 3 298 1 99 => B < 2B - B = 1- 1 2 NHẬN XÉT: Tính Tổng dãy số hạng mà số hạng sau gấp 2,3,4,5..lần số hạng liền trước.Ta nhân biểu thức đó co 2,3,4,5... .Rồi lấy tổng sau trừ cho tổng đã cho để RÚT GỌN,hoặc BÉ HƠN hoặc LỚN HƠN,........ Áp dụng Tính: BÀI 13: Rút gọn: a/ A = 2100 - 299 + 298 - 297 +........ + 22 - 2 201 HD: tính 2A+A=2 3 201- 2 => A = 2 - 2 ( Lưu ý : Các số hạng đối nhau nên ta cộng) b/ B = 3100 -399 + 398 - 397 + 32 - 3 +1 HD: Tính 3B + B = 4B = 4 1+3101  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 7 -
• 8. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  BÀI 14: Chứng minh rằng: 1 ........ 1 1 1 1 C= 2 3 3 3 3 2 3 99 + + + + < 1 => C < 2 HD: Tính 3C - C= 2C = 1- 399 1 3 + 5 + 7 + ........ + 19 < 2 2 2 3 2 2 2 2 BÀI 15: Chứng minh rằng: 1 9 .10 3 .4 2 .3 1 .2 2 9 2 3 3 2 2 1 2 -1 + 3 - 2 + 4 - 3 + .... + 10 - 9 = 2 2 2 2 2 2 102 HD: Ta có:...........= 1 2 2 3 2 2 2 2 9 .10 3 .4 2 .3 1 .2 1 1 - + - + + + - ........ 1 9 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 12 - < = 1 10 3 ......... 100 4 3 2 1 BÀI 16: Chứng minh rằng: 4 3 3 3 3 3 2 3 4 100 + + + + + < 1 + + + + + ......... 100 4 3 2 HD: Đặt M = 3 3 2 3 3 3 4 3100 100 2 + + + + + ........ 99 4 3 3 M = 1+ 3 3 2 3 3 3 98 399 1+ ( 1 + + + + + - ) 100 1 ..... 1 1 1 3M-M=2M = 3 2 3 3 3 4 3 98 3 99 3100 1 => A < + => M < 4 2 1 1 Biểu thức trong ngoặc nhỏ hơn 2 2 3 BÀI 17: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m - 2n = 256 HD: Ta có : 2m - 2n = 256 = 28 => 2n (2m-n -1) = 28 Dễ thấy m ¹ n Ta xét 2 trường hợp: 1/ Nếu m-n = 1 thì (1) ta có 2n(2-1) = 28=>n =8;m =9 2/ Nếu m-n ³ 2 => 2m-n -1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa số nguyên tố.Còn vế trái của (1) chỉ chứa thừa số  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 8 -
• 9. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  nguyên tố 2 <=> Mâu thuẩn.Vậy n=8 ; m=9 là đáp số duy nhất 1 2 2 2 2 - ÷ø 1 & 1 1 ....... 1 1 . 1 1 . 1 æ - ÷ø æ - ÷ø æ - ÷ø BÀI 18: So sánh A = 2 100 4 3 2 ö çè ö çè ö çè æ - ö çè HD: A là tích của 99 số âm. Do đó: (1-1 - - - ) )(1 1 4 )(1 1 9 ).........(1 1 16 -A = 1002 ........ 99.101 . 3.5 . 2.4 1.3 3 = ....... 9999 .15 . 8 -A = 2 2 3 2 4 2 100 2 2 2 3 2 4 2 1002 Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau: -A = 1 . 100 1.2.3.4.5.6..........98.99 = . 3.4.5..........100.101 2.3.4..........99.100 2.3.4.5.........99.100 101 = > Vậy A <- 2 1 2 101 200 2 1   GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 9 -
• 10. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 " So sánh hai luỹ thừa "  nguyên tố 2 <=> Mâu thuẩn.Vậy n=8 ; m=9 là đáp số duy nhất 1 2 2 2 2 - ÷ø 1 & 1 1 ....... 1 1 . 1 1 . 1 æ - ÷ø æ - ÷ø æ - ÷ø BÀI 18: So sánh A = 2 100 4 3 2 ö çè ö çè ö çè æ - ö çè HD: A là tích của 99 số âm. Do đó: (1-1 - - - ) )(1 1 4 )(1 1 9 ).........(1 1 16 -A = 1002 ........ 99.101 . 3.5 . 2.4 1.3 3 = ....... 9999 .15 . 8 -A = 2 2 3 2 4 2 100 2 2 2 3 2 4 2 1002 Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau: -A = 1 . 100 1.2.3.4.5.6..........98.99 = . 3.4.5..........100.101 2.3.4..........99.100 2.3.4.5.........99.100 101 = > Vậy A <- 2 1 2 101 200 2 1   GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 9 -