Đề bài
Khi quay tam giác ABC vuông tại A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định, ta được một hình nón. Biết rằng \[BC = 4dm,\widehat {ACB} = {30^0}.\] Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Xác định độ dài các cạnh của tam giác \[ABC\] dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn.
+ Hình nón có chiều cao \[h\], bán kính đáy \[R\] và đường sinh \[l\] thì có diện tích xung quanh \[{S_{xq}} = \pi Rl\] và thể tích \[V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\]
Lời giải chi tiết
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[BC = 4dm;\,\widehat {ACB} = 30^\circ \]
Ta có \[AB=BC.\sin \widehat {ACB}=BC \sin 30^\circ =4. \sin 30^\circ \]\[= \dfrac{1}{2}.4 = 2dm\]
Và \[ AC = BC.\cos \widehat {ACB} = 4.\cos 30^\circ \]\[ = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{2}dm\]
Khi quay tam giác \[ABC\] quanh cạnh \[AC\] ta được một hình nón có chiều cao \[h = AC = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}dm\], bán kính đáy \[R = AB = 2dm\] và đường sinh \[BC = 4dm\].
Diện tích xung quanh hình nón là \[{S_{xq}} = \pi Rl = \pi .2.4 = 8\pi \left[ {d{m^2}} \right]\]
Thể tích hình nón là \[V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{8\pi \sqrt 3 }}{3}\]\[\left[ {d{m^3}} \right]\]