Đề bài
Biết \[\sin {\pi \over {10}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 4}.\] Chứng minh rằng hàm số
\[y = \left[ {\sqrt 5 - 1} \right]\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\]
Đồng biến trên \[\left[ {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi \over {10}}} \right]\]
Lời giải chi tiết
Từ \[\sin {\pi \over {10}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 4}\] suy ra \[\cos {\pi \over {10}} = \sqrt {1 - {{\left[ {{{\sqrt 5 - 1} \over 4}} \right]}^2}} = {{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \over 4}\]. Do đó
\[y = \left[ {\sqrt 5 - 1} \right]\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\]
\[= 4\cos \left[ {x - {\pi \over {10}}} \right]\]
Khi x tăng từ \[{{ - 9\pi } \over {10}}\] đến \[{\pi \over {10}}\] thì \[x - {\pi \over {10}}\] tăng từ \[ - \pi \] đến 0 nên \[y = 4\cos \left[ {x - {\pi \over {10}}} \right]\] tăng từ -4 đến 4. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \[\left[ {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi \over {10}}} \right]\]