VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cực trị hàm bậc ba, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Cực trị hàm bậc ba: Cực trị hàm bậc ba. Phương pháp. Bước 1. Hàm số đạt cực đại [cực tiểu] tại điểm x, thì f'[x] = 0, tìm được tham số. Bước 2. Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào hàm số ban đầu để thử lại. Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc nghiệm như sau: Hàm số đạt cực tiểu tại x = x. Hàm số đạt cực đại tại x = x. Bài tập 1: Tìm m để hàm số y = x – mx + [m – 4]x + 3 đạt cực đại tại điểm x = 3. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì. Với m = 1, y = 4 > 0 suy ra x = 3 là điểm cực tiểu. Với m = 5, y’ = – 40 suy ra x = 3 là điểm cực đại. Bài tập 2: Hàm số y = ax + x – 5x + b đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu bằng 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 y[1] = 02 a = 1. Thay a = 1 ta thấy y”[1] = 6 + 2 = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu. Bài tập 3: Hàm số f[x] = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f[0] = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f[1] = 1. Giá trị của biểu thức T = a + 2b – c + d là. Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f[0] = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f[1] = 1 nên ta có hệ phương. Bài tập 4: Giá trị của m để hàm số y = x + mx – 1 có cực đại và cực tiểu là. Hàm số y = x + mx – 1 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt hay 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt. Do đó m 0. Hợp cả hai trường hợp, khi m < 1 thì hàm số có cực trị. Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba [bậc cao nhất] có chứa tham số thì nên chia hai trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0. Bài tập 6: Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx – 3mx – [m – 1]x + 2 không có cực trị. Với m = 0, hàm số trở thành y = x + 2 là hàm đồng biến trên IR nên không có cực trị, nhận m = 0. Xét m 40, hàm số không có cực trị khi y' = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm Hợp cả hai trường hợp, khi 0 < m < 1 thì hàm số không có cực trị. Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m [-20; 20] để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu là. Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y' = 0 có hai nghiệm trái dấu. Vậy m {-20; -19; 3 – 4; 2], có 18 giá trị của m. Bài tập 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx + m[m – 1]x – [m + 1]x – 1 có hai điểm cực trị đối nhau? Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau y = 0 có hai nghiệm đối nhau. Bài tập 9: Giá trị của m để đồ thị hàm số y = x + [m – 1]x2 + [m + 2]x – 6 có hai điểm cực trị có hoành độ dương là. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương y = 0 có hai nghiệm phân biệt dương. Bài tập 10: Cho hàm số y = x + [1 – 2m]x + [2 – m]x + 2. các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là. Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó, giả sử x là hai nghiệm của phương trình y = 0. Kết hợp điều kiện có cực trị thì m < -1 và thỏa mãn yêu cầu. Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau: Xét x < x < 1. Bài tập 11: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x + x + mx − 1 nằm bên phải trục tung. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình hai nghiệm phân biệt Khi đó, giả sử là hai nghiệm của phương trình y = 0 thì nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x + x + mx – 1 nằm bên phải trục tung. Bài tập 12: Giá trị của m để hàm số = x – [m – 2]x + [4m – 8]x + m + 1 có hai điểm cực trị x thỏa. Bài tập 13: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để hàm số y = [x – 3][x – 2x – m – 1] có hai điểm cực trị x, y = 1. Tổng tất cả các phần tử của S bằng. Vậy tổng cần tìm bằng 4 + [-2] = 2. Bài tập 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên để hàm số y = x – mx + mx – 1 có hai điểm cực trị x. Do m nguyên. Vậy có 37 giá trị của m. Bài tập 15: Cho hàm số y = x[m + 1] + 9x – m. Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn hàm số đạt cực trị tại hai điểm x sao cho 3x – 2x = m + 6 là. Hàm số có hai điểm cực trị khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 16: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = 2x + 9mx + 12mx có điểm cực đại, điểm cực tiểu x thỏa mãn. Hàm số có hai điểm cực trị khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Trường hợp 1: m 0 lập bảng xét dấu đạo hàm ta có x = -2m, x = -m. Bài tập 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m [-18; 18] để đồ thị hàm số y = [x – 1][x + 2mx + 1] có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? Bảng biến thiên của hàm số bậc ba khi có hai cực trị và hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía trục hoành là. Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành thì y = 0 có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác. Vậy có 34 giá trị của m thỏa mãn đề. Bài tập 18: Cho hàm số y = 2x – 3mx + x + m. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m trong khoảng [-10; 10]để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng y = x – 6.
Cực trị hàm số bậc 3 là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán 12 và thi THPT Quốc Gia. Vậy cực trị hàm số bậc 3 là gì? Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3? Lý thuyết và Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!
Cực trị của hàm số là gì?
Cho hàm số \[ y= f[x] \] liên tục và xác định trên khoảng \[ [a;b] \] và điểm \[ x_0 \in [a;b] \]
- Hàm số \[ f[x] \] đạt cực đại tại \[ x_0 \] nếu tồn tại số \[ h>0 \] sao cho \[ f[x] < f[x_0] \] với mọi \[ x \in [x_0-h;x_0+h] \] và \[x \neq x_0\]
- Hàm số \[ f[x] \] đạt cực tiểu tại \[ x_0 \] nếu tồn tại số \[ h>0 \] sao cho \[ f[x] > f[x_0] \] với mọi \[ x \in [x_0-h;x_0+h] \] và \[x \neq x_0\]
Định lý:
Cho hàm số \[ y=f[x] \] liên tục, xác định và có đạo hàm cấp 2 trên khoảng \[ [a;b] \]. Khi đó
- Nếu \[\left\{\begin{matrix} f'[x_0]=0\\ f”[x_0]>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow\] \[ x_0 \] là điểm cực tiểu của hàm số \[ f \]
- Nếu \[\left\{\begin{matrix} f'[x_0]=0\\ f”[x_0]>> Cực trị của hàm số là gì? Cực trị của một số hàm số
Cực trị của hàm số bậc 3 là gì?
Cho hàm số bậc 3 \[ y=f[x] = ax^3+bx^2+cx+d \]
Đạo hàm \[ y’=f’[x] = 3ax^2+2bx+c \]
- Hàm số \[ f[x] \] có cực trị \[\Leftrightarrow f[x] \] có cực đại và cực tiểu
\[\Leftrightarrow f'[x]=0\] có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\]
- Hàm số \[ f[x] \] không có cực trị \[ \Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac \leq 0\]
Bài tập về cực trị hàm đa thức bậc 3
Dạng 1: Tìm điểm cực trị hàm số bậc 3
Đây là dạng bài cơ bản nhất, chỉ cần sử dụng Định lý ở mục trên là có thể tìm được cực đại, cực tiểu của hàm số.
Ví dụ:
Tìm cực trị của hàm số : \[ f[x] =x^3-3x^2-2 \]
Cách giải:
Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]
Ta có :
\[ f’[x] = 3x^2-6x =3x[x-2] \]
Vậy \[f'[x]=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array}\right.\]
Mặt khác :
\[ f’’[x] =6x-6 \]
\[ \Rightarrow f’’[0] =-60 \Rightarrow \] hàm số đạt cực đại tại điểm \[ [2;-6] \]
Dạng 2: Tìm \[ m \] để hàm số bậc 3 có 2 cực trị
Bài toán: Tìm \[ m \] để hàm số \[ y=f[x;m] =ax^3+bx^2+cx+d \] có \[ 2 \] điểm cực trị với \[ a,b,c,d \] là các hệ chứa \[ m \]
Cách làm:
- Bước 1: Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]. Tính đạo hàm \[ y’ = 3ax^2+2bx+c \]
- Bước 2: Hàm số có \[ 2 \] cực trị \[\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\]
- Bước 3: Giải bất phương trình trên, tìm ra điều kiện của \[ m \]
Ví dụ:
Tìm \[ m \] đề hàm số \[ f[x] = y=2x^{3}+3[m-1]x^{2}+6[m-2]x – 1 \] có hai điểm cực trị
Cách giải:
Xét \[ y=2x^{3}+3[m-1]x^{2}+6[m-2]x – 1 \] có tập xác định \[ D=\mathbb {R} \]
Ta có :
\[ y’=6x^2+6[m-1]x+6[m-2] \]
Để hàm số có hai cực trị thì \[ y’=0 \] có hai nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow x^2+[m-1]x+[m-2]=0\] có hai nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow \Delta = [m-1]^2-4[m-2]>0\]
\[\Leftrightarrow m^2-6m+9=[m-3]^2>0\]
\[\Leftrightarrow m \neq 3\]
Dạng 3: Tìm \[ m \] để hai cực trị thỏa mãn điều kiện
Bài toán: Tìm \[ m \] để hàm số \[ y=f[x;m] =ax^3+bx^2+cx+d \] có \[ 2 \] điểm cực trị \[ x_1;x_2 \] thỏa mãn điều kiện \[ K \] với \[ a,b,c,d \] là các hệ chứa \[ m \]
Cách làm:
- Bước 1: Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]. Tính đạo hàm \[ y’ = 3ax^2+2bx+c \]
- Bước 2: Hàm số có \[ 2 \] cực trị \[\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\]. Giải bất phương trình này tìm được \[ m \in D_1 \]
- Bước 3: Gọi \[ x_1;x_2 \] là hai nghiệm của phương trình \[ y’=0 \]. Theo Vi-ét ta có :
\[\left\{\begin{matrix} S=x_1+x_2=\frac{-b}{3a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{3a} \end{matrix}\right.\]
- Bước 4: Biến đổi điều kiện yêu cầu của đề bài về dạng \[ S \] và \[ P \]. Từ đó giải ra tìm được \[ m \in D_2 \]
- Bước 5: Kết luận các giá trị của \[ m \] thỏa mãn \[m=D_1\cap D_2\]
Ví dụ:
Cho hàm số \[ y= 4x^3+mx^2-3x \]. Tìm \[ m \] để hàm số đã cho có hai điểm cực trị \[ x_1; x_2 \] thỏa mãn \[ x_1=-4x_2 \]
Cách giải:
Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]
Đạo hàm : \[ y’=12x^2+2mx-3 \]
Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \[ y’=0 \] có hai nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow \Delta’=m^2+36 >0\]
Điều này luôn đúng với mọi \[m \in \mathbb{R}\]
Vậy \[ y \] luôn có hai điểm cực trị có hoành độ \[ x_1;x_2 \] thỏa mãn
\[\left\{\begin{matrix} x_1+x_2 = \frac{-m}{6}\\ x_1x_2=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.\] [ theo Vi-ét]
Vì \[ x_1=-4x_2 \] nên thay vào hệ trên ta có :
\[\left\{\begin{matrix} -3x_2 = \frac{-m}{6}\\ -4x_2^2=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=18x_2\\ x_2^2=\frac{1}{16} \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{1}{4}\\ m=\frac{9}{2} \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{-1}{4}\\ m=-\frac{9}{2} \end{matrix}\right. \end{array}\right.\]
Vậy \[m=\frac{9}{2}\] hoặc \[m=-\frac{9}{2}\]
Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3
Đây là một số công thức giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách nhanh chóng mà không cần phải tính toán phức tạp.
Cho hàm số \[ y= ax^3+bx^2+cx+d \] có hai điểm cực trị phân biệt là \[ A,B \] . Khi đó:
- Phương trình đường thẳng \[ AB \] :
\[\frac{2}{3}[c-\frac{b^2}{3a}]x+[d-\frac{bc}{9a}]\]
Xem chi tiết >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị hàm số bậc 3
- Độ dài đoạn thẳng \[ AB \] :
\[AB=\sqrt{\frac{4e[4e^2+1]}{a}}\] với \[e=\frac{b^2-3ac}{9a}\]
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chuyên đề cực trị hàm số bậc 3 cũng như các phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề cực trị hàm số bậc 3. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập
Please follow and like us:
Video liên quan